西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第五章 定积分 第三节 定积分的换元法与分部积分法

第一节定积分的换元法与分部积分法 教学目的:熟悉定积分的换元法和分部积分法 教学重点:定积分换元法与分部积分法 教学难点:定积分换元法的运用 教学内容: 、定积分的换元法 定理假设函数∫(x)在[a,b上连续,函数x=)满足条件: )=a,(B)=b, (2)φ()在[a,](或[β,α])上具有连续导数,且其值不越出[a,b],则 有(x)k=o0业 例1计算下列定积分: 2-xx(a0.(2) cosx sin x dx x (3) sin'x dx 2x+1 丌 解:(1)设x= a sin t,则ax= a cos d,且当x=0时t=0;当x=a时2 x dx cost de (+cos 2)dt 故 2 t+-sin 2t 注:换元公式也可以反过来使用,即]x)](x)dax=」f()d (2)设t=co8x,则 cos'x. sin xdx=-12cos'x dcos=h,edt=LCd=/2611 √a3x-8n3x=1(ax)√cx=!(amx)1x sin x)i cos xdx-(sin x) cos x dx 「n(smx)=dsnx (anx)2 sinr、q (4)设t=√2x+1,则=-2,且当x=0时t=1:当x=4时t=3

第一节 定积分的换元法与分部积分法 教学目的：熟悉定积分的换元法和分部积分法 教学重点：定积分换元法与分部积分法 教学难点：定积分换元法的运用 教学内容： 一、定积分的换元法 定理 假设函数 在 上连续，函数 满足条件：      （1）    （2） 在 （或 ）上具有连续导数，且其值不越出 ，则 有  例1  计算下列定积分： （1） ； （2） ； （3） ；  （4） . 解：（1）设 ，则 ，且当 时 ；当 时 . 故                         注：换元公式也可以反过来使用，即 . （2）设 ，则 （3）           （4）设 ，则 ，且 当 时 ；当 时

x+2 2 23 +3t 例2若(x)在[a,b]上连续,证明: (1)当f(x)为偶函数时 f(x)dx=2f(x)dx (2)当f(x)为奇函数时,] f(x)dx=0 f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=-f(x)dx+f(x)dx 「2(+(x=[(x)+f(对 (1)当f(x)为偶函数时,f(x)+f(x)=2f(x),所以 ∫。f(x)kx=2!f(x)k (2)当f()2为奇函数时,f(x)+f(x=0,所以」()=0 例3若∫(x)在[0,1上连续,证明 f(sin x)dx=f(cos x)dx xf (sin x)dx f(sin x)dx x sinx 且由此计算1+cos 丌 证:(1)设2,则dx=-d,且当x=0时2:当2时t=0. m:=(小-(m时)上(m小 (2)设x=丌-t,则dx=-d,且当x=0时t=丌;当x=丌时t=0 x f(sin x)dx=(T-t)f[sin(r-t)]d(t)= rf(sint)df-tf(sint)dt 丌 (sin x)dx f(sint)dt 所以 (3)利用此公式可得: X sinx 丌 sxx=-21+82 丌 丌 Z2 dcos=-arctan(cos x) 1+cos 21+co xe,x≥0 例4设函数()=(1+6-1x0,计算上/(x=2 解:设

故 例2 若 在 上连续， 证明： （1）当 为偶函数时， ； （2）当 为奇函数时， . 证： （ 1 ） 当 为 偶 函 数 时 ， ， 所 以 ； （2）当 为奇函数时， ，所以 . 例3  若 在 上连续，证明： （ 1 ） ； （ 2 ） ， 且由此计算 . 证：（1）设 ，则 ，且当 时 ；当 时 . 故 （2）设 ，则 ，且当 时 ；当 时 . 故 所以           （3）利用此公式可得： 例4  设函数 ，计算 . 解：设

f(x-2)呸=,f()d=,f()d+f()e dt+tedt 11+cost 114,1 二、定积分的分部积分法 定理设a(x),(x)在[a,b]上具有连续导数a(x),y(x),则 (uv 'dx=u'vdx+uv'dx dy=(uvld-J 这就是定积分的分步积分公式 例1计算定积分:(1) csin x dx 解:(1)设= arcsin x,V=x,则 arcsin x dx=arcsin x X dx=edr=2te'dt=2t de=2 te =2 例2证明定积分公式: n-1x-331丌n为正偶数, l2=|2sin”xdx= n-2422 n-1n-342 为大于的正奇数 证:设a=sn”x,d= sin x dx,则由分步积分公式可得 4=(-1)5sn2xx-(x-12 sin"xdx=(n-12-(n-1) 故 由此递推公式即得 n-1x-33.1.xx为正偶数, idx 1n-342 nn-253 为大于的正奇数

二、定积分的分部积分法 定理 设 在 上具有连续导数 ，则 即 . 这就是定积分的分步积分公式. 例1  计算定积分：（1） ；（2） . 解：（1）设 , 则 （2）设 ，则 例2  证明定积分公式： 证：设 ，则由分步积分公式可得： 故  由此递推公式即得：