西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第七章 空间解析几何与向量代数 7.5 平面及其方程

第五节平面及其方程 教学目的:介绍最简单也是非常这样的曲面——平面,为下学期学习重积 分、线面积分打下基础 教学重点:1.平面的方程 2两平面的夹角 教学难点:平面的几种表示及其应用 教学内容 平面的点法式方程 1.平面的法线向量定义:垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 2.平面的点法式方程 已知平面上的一点M0(x0,y0,20)和它的一个法线向量n A,B,C,对平面上的任一点M(x,y,z),有向量M0M⊥ M0M=0 代入坐标式有: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0 (1) 此即平面的点法式方程 1.例子:求过三点M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面方 程 解:先找出这平面的法向量n, k M2M12×M1M2=+34-6=14计+9-k 由点法式方程得平面方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9 二.平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 平面的一般方程为 Ax+ By+Cz+D=0 几个平面图形特点: D=0:通过原点的平面 A=0:法线向量垂直与x轴,表示一个平行于x轴的平面. 同理:B=0或C=0:分别表示一个平行于y轴或z轴的平面 四.A=B=0:方程为Cz+D=0,法线向量{0,0,C},方程表示一个平行于xoy面的 平面 同理:Ax+D=0和By+D=0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面 五.反之:任何的三元一次方程,例如:5x+6y-7z+11=0都表示一个平面 平面的法向量为n={5,6,-7)

第五节 平面及其方程 教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面——平面，为下学期学习重积 分、线面积分打下基础. 教学重点：1.平面的方程 2.两平面的夹角 教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容： 一．平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量. 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n ＝{A,B,C}，对平面上的任一点M(x,y,z)，有向量 n，即 n 代入坐标式有：          （1） 此即平面的点法式方程. 1. 例子：求过三点M1（2，－1，4）、M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）的平面方 程. 解：先找出这平面的法向量n，           由点法式方程得平面方程为 即： 二．平面的一般方程      任一平面都可以用三元一次方程来表示. 平面的一般方程为： 几个平面图形特点： 二． D＝0：通过原点的平面. 三． A＝0：法线向量垂直与x轴，表示一个平行于x轴的平面. 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面. 四． A＝B＝0：方程为Cz＋D＝0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的 平面. 同理：Ax＋D＝0和By＋D＝0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面. 五． 反之：任何的三元一次方程，例如：5x＋6y－7z＋11＝0都表示一个平面，该 平面的法向量为n＝{5,6,-7}

两平面的夹角 定义:平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面 定曲线C:准线 动直线L:母线 四.几个常用的结论 设平面1和平面2的法向量依次为n1={A1,B1,C1}和n2={A2,B2,C2 两平面垂直:A142+B12B2+C1C2=0(法向量垂直) A B, 两平面平行:A2B2C2 (法向量平行) 平面外一点到平面的距离公式:设平面外的一点P0(x0,y0,z0),平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0,则点到平面的距离为 Ax0+Byo+Czo+ A+b+c 小结:平面是本书非常重要的一节,学生在学习时会各种平面的表示方法, 了解平面与其法向量之间的关系等等

三．两平面的夹角 定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.       定曲线C：准线             动直线L：母线 四．几个常用的结论     设平面1和平面2的法向量依次为n1＝{A1,B1,C1}和n2＝{A2,B2,C2} 两平面垂直：   （法向量垂直） 两平面平行：           （法向量平行） 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0（x0，y0，z0），平面的方程为 ，则点到平面的距离为 小结：平面是本书非常重要的一节，学生在学习时会各种平面的表示方法， 了解平面与其法向量之间的关系等等