西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第七章 空间解析几何与向量代数 7.3 曲面及其方程

第三节曲面及其方程 教学目的:介绍各种常用的曲面,为下学期学习重积分、线面积分打下基础 教学重点:1球面的方程 2旋转曲面的方程 教学难点:旋转曲面 教学内容: 曲面方程的概念 1.定义:如果曲面S与三元方程 (1) 有下述关系 (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程(1) (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1) 那么,方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形. 面 例子:建立球心在M(x0,yo,z0)、半径为R的球面的方程. 解:设M(x,y,z)是球面上的任一点,那么 √x-x2)2+(y-y0)2+(2-z0)2=R (x-x0)2 (z-z0)2 特别地:如果球心在原点,那么球面方程为 旋转曲面 1.定义:以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴 2.旋转曲面的方程 设在yoz坐标面上有一已知曲线C,它的方程为 f 把这曲线绕z轴旋转一周,就得到一个以z轴为轴的旋转曲面,设M1(O,y1,z1)为曲线C上 的任一点,那么有 当曲线C绕z轴旋转时,点M1也绕z轴旋转到另一点M(x,y,z),这时z=z1保持不变,且点M 到z轴的距离 d=√x2+y2=l 将z1=z,巧1=土 代入(2)式,就有螺旋曲面的方程为 f(±√x2+y2,z)=0 ●旋转曲面图绕哪个轴旋转,该变量不变,另外的变量将缺的变量补上改成正负 二者的完全平方根的形式

第三节 曲面及其方程 教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础. 教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程 教学难点：旋转曲面 教学内容： 一．曲面方程的概念 1．定义：如果曲面S与三元方程 F（x，y，z）＝0             （1） 有下述关系： （1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1） （2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1） 那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形. 1． 面 例子：建立球心在M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程.   解：设M(x,y,z) 是球面上的任一点，那么 即 ： 或 ： 特别地：如果球心在原点，那么球面方程为 二．旋转曲面 1．定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面， 旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴. 2．旋转曲面的方程      设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为 f（y，z）＝0 把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设M1(0,y1,z1)为曲线C上 的任一点，那么有 f（y1，z1）＝0           （2） 当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点M(x,y,z)，这时z＝z1保持不变，且点M 到z轴的距离 将z1＝z， 代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为 ● 旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负 二者的完全平方根的形式

●常用旋转曲面:锥面(直线绕直线旋转,两直线的夹角a(0<a<90°)),方 程为: =a2(x2+y2) 其中a=cota 柱面 1.定义:平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面 定曲线C:准线 动直线L:母线 2.特征:x,y,z三个变量中若缺其中之一(例如y)则表示母线平行于y轴的柱面 3:几个常用的柱面: 圆柱面:x2+y2=2(母线平行于z轴) ●抛物柱面:y2=2x(母线平行于2轴) 小结:会写出常用的曲面方程,并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状

● 常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角α（0<α<90°）），方 程为：     其中a＝cotα 三．柱面 1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.           定曲线C：准线             动直线L：母线 2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面. 3：几个常用的柱面： ● 圆柱面： （母线平行于z轴） ● 抛物柱面： （母线平行于z轴） 小结：会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状