西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则

第五节极限运算法则 教学目的:掌握极限的性质及运算法则 教学重点:掌握不同类型的未定式的不同解法 教学难点:计算 定理设imf(x)=A和mg(x)=B (1)lin[(x)士g(x)=lmf(x)±lmg)=A+B (2) lim f(x)g(x)=lim f(x). lim g(x)=AB (x) im g(x)B (B≠0) 定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证:设函数在U(x,4)内有界, 则M>0,6>0使得当00362>0使得当04k-d<6时恒有立 取6=min(4,62),则当0<x-<时恒有 k-d=kl(d <MM 当x→x0时,a为无穷小 2)x→1 im (3)x1x2+2x-3 (4)x→07x3+4x2-1 解(1) (x2-3x+5) " -3lim x+lim 5 3≠0. lim x-lim 1 23-17 lim 2x-3x+5lim(x2-3x+5)= x→2 33 (2):lm(ax2+2x-3)=0,商的法则不能用 又因为 1m(4x-1)=3≠0,m 由无穷小与无穷大的关系,得 (3)x→1时分子分母的极限都是零。型) 先约去不为零的无穷小因子x-1后再求极限

第五节 极限运算法则 教学目的：掌握极限的性质及运算法则 教学重点：掌握不同类型的未定式的不同解法 教学难点：计算 定理 设 和 （1） （2） （3） 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证： 例 求（1） （2） （3） （4） 解（1） （2） 商的法则不能用 又因为 由无穷小与无穷大的关系,得 （3）

1x2+2x-3如(x+1)(x-1) x+11 x1(x+3(x-1)x1x+32(消去零因子法 4)x→0时分子分母的极限都是无穷大(型) 先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限 2x3+3x2+5 一+ 7+xx=7(无穷小因子分出法) 定理(复合函数的极限运算法则)设设→ ()=A,1ma(x) ,但在 在点0的某一去心邻域内(x)≠0,则复合函数J((x)当x→列时的极限存在,且 lim f(u(x))=lim f(u)= A 丛→岛 lim f(u)=A 证由4→ 可得E>0,3y>0,:0034>0Vx:00,Vx∈min(U(x0,2),(x)≠,故 ve>0,38=mn(41,62)>0,Wx:0<kx-x<6 有 f(4(x)-A<e 也就是 lim f(u(x))=A

(消去零因子法) （4） (无穷小因子分出法) 定理 （复合函数的极限运算法则） 设设 ，但在 在点 的某一去心邻域内 ，则复合函数 当 时的极限存在，且 证 由 可得 ，有 又因为 ，即对上面的 ，有 另一方面可设 ，故 有 也就是