《误差理论及测量平差基础》课程教学资源（授课教案）教案08

?成金娜内素古科技大学INNERMONGOLIAUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY教案课程名称测量平差基础总学时数80学时使用班级测绘专 2013-1、2任课学期2014/2015学年第一学期任课教师燕志明编制时间2014年9月19日

教 案 课程名称 测量平差基础 总学时数 80 学 时 使用班级 测绘专 2013-1、2 任课学期 2014/2015 学年第一学期 任课教师 燕志明 编制时间 2014 年 9 月 19 日

内蒙古科技大学教案课程名称：测量平差基础授课章节S3.6协因素（权倒数）和协因素传播定律目的要求了解什么是协因数，掌握协因数传播率及其在测量的应用。1、权阵、方差阵、协因素阵的关系重点难点2、协因素和协因素阵传播定律一、协因数与协因数阵设有观测值和"，它们的权分别为P和P1，它们的方差分别为和，a引入新课」，它们（约5分钟）之间的协方差为°"，单位权方差为°。,-1-gQn=1-02，Q,=y重点讲解协因P,oPo"数阵（约20分O令：钟)或写为： =，,=，,=,2，为"i的协因数或权倒数，9Qis.称9i为i的协因数或权倒数，2ij的协0..0和（权倒数）与方差成正比，而协因数或相关权倒数。由上可知，观测值的协因数O.O0Pi与权i和有类似的作用，它因数i（相关权倒数）与协方差成正比。协因数们是比较观测值精度高低的一种指标；而协因数是比较观测值之间相关程度的一种指标，我们可以利用这种指标来证明随机向量间的相关或不相关。二、权阵权阵（约20分设有独立观测值X,(=1,2,…,n)，其方差为，权为Pi，单位权方差为钟)[x]P[o?0000.X00.0P20a2Pxx =Dxx =X=:...........n,nn,nX.0g0000.PeX的协因数阵为[oi100.0aPi9210010.0...Dxx=Oxx =P20o....g.1000aPn第1页第8次

内蒙古科技大学教案 课程名称：测量平差基础 授课章节 §3.6 协因素（权倒数）和协因素传播定律 目的要求 了解什么是协因数，掌握协因数传播率及其在测量的应用。 重点难点 1、 权阵、方差阵、协因素阵的关系 2、 协因素和协因素阵传播定律 一、协因数与协因数阵 设有观测值 和 ，它们的权分别为 和 ，它们的方差分别为 和 ，它们 之间的协方差为 ，单位权方差为 。 令： ) 或写为： ) 称 为 的协因数或权倒数， 为 的协因数或权倒数， 为 关于 的协 因数或相关权倒数。由上可知，观测值的协因数 和 （权倒数）与方差成正比，而协 因数 （相关权倒数）与协方差成正比。协因数 ， 与权 和 有类似的作用，它 们是比较观测值精度高低的一种指标；而协因数 是比较观测值之间相关程度的一种指 标，我们可以利用这种指标来证明随机向量间的相关或不相关。 二、权阵 设有独立观测值 ，其方差为 ，权为 ，单位权方差为 。 ， ， 的协因数阵为 = 引入新课 （约 5 分钟） 重点讲解协因 数阵（约 20 分 钟） 权阵（约 20 分 钟） ） 第 8 次 第 1 页 Li Lj i p j p 2  i 2  j  ij 2  0 2 0 2 0 2 2 0 2 , 1 , 1       ij ij j j jj i i ii Q p Q p Q = = = = = i Qii j Qjj ij Qij 2 0 2 0 2 2 0 2  = ,  = ,  = Qii Li jj Q Lj Qij Li Lj Qii Qjj Qij Qii Qjj Pi Pj Qij X（i i = 1,2,  ,n） 2  i i p 2  0             = n n X X X X  2 1 ,1             = 2 2 2 2 1 , 0 0 0 0 0 0 0 n n n DXX                      = n n n XX P P P P        0 0 0 0 0 0 2 1 , X                     = = 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1        n QXX DXX                         n p p p 1 0 1 0 0 0 1 2 1         

则有Pxx =QxlPxxOxx =1]称Pxx为X的权阵。当Qxx是对角阵时，权阵Pxx的主对角线元素是Y，的权；当Qxx是非对角阵时，权阵Pxx的主对角线元素不再是X的权了，权阵Pxx的各个元素也不再有权的意义了。但是，相关观测值向量的权阵在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向量的权阵一样的作用。三、协因数传播律协因数传播率由协因数阵定义可知，协因数阵可以由协方差阵乘上常数 /s。得到。根据协方差传讲解（约15分钟）播律，我们可以方便地得到由观测向量的协因数阵求其函数的协因数阵的计算公式，从而也就得到了函数的权。设有观测值向量X和Y的线性函数：Z = KX+ K.)W=FY+FJX的协因数阵Qxx，Y的协因数阵Qrm，X关于Y的互协因数阵为Q(Q=Qw），K、Ko、F、Fo为常系数阵。假设单位权方差为，X的方差阵Dxx，Y的方差阵Dm，X关于Y的互协方差阵为Dxy（Dax=Dr）。由协方差传播律，并顾及协因数阵与协方差阵的关系式，得D=KDxxKT0On=KoOxxKT=0KOxxKTDww=FDyFT0Qww=FoOmFT=0FOmFTDw=KDxFTO=KOOFT=0KQFTDwz=FDyxKT0Owz=FoQxKT=0FQyxKTOn =KQxxKTOww=FOmFTQzw=KOmFrOwz = FQxxKT这就是协因数传播律的实用计算公式，也称为权逆阵传播律。通常将协方差传播律（式1-5-22和1-5-23）与协因数传播律（式1-6-7和1-6-8）合称为广义传播律。设有函数：Z=(,L2,)% +% +.afdZ=-dL, = KdLaL,+aL,aL全微分得：第8次第2页

则有 ） 称 为 的权阵。当 是对角阵时，权阵 的主对角线元素是 的权；当 是 非对角阵时，权阵 的主对角线元素不再是 的权了，权阵 的各个元素也不再有 权的意义了。但是，相关观测值向量的权阵在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向 量的权阵一样的作用。 三、协因数传播律 由协因数阵定义可知，协因数阵可以由协方差阵乘上常数 得到。根据协方差传 播律，我们可以方便地得到由观测向量的协因数阵求其函数的协因数阵的计算公式，从而 也就得到了函数的权。 设有观测值向量 和 的线性函数： 的协因数阵 ， 的协因数阵 ， 关于 的互协因数阵为 （ ）， 、 、 、 为常系数阵。 假设单位权方差为 ， 的方差阵 ， 的方差阵 ， 关于 的互协方 差阵为 （ ）。由协方差传播律，并顾及协因数阵与协方差阵的关系式，得 ， 这就是协因数传播律的实用计算公式，也称为权逆阵传播律。通常将协方差传播律（式 1-5-22 和 1-5-23）与协因数传播律（式 1-6-7 和 1-6-8）合称为广义传播律。 设有函数： 全微分得： 协因数传播率 讲解（约 15 分 钟） 第 8 次 第 2 页    = = − P Q I P Q XX XX XX XX 1 PXX X QXX PXX Xi QXX PXX Xi PXX 2 1  0 X Y    = + = + 0 0 W FY F Z KX K X QXX Y QYY X Y QXY T QYX = QXY K K0 F F0 2  0 X DXX Y DYY X Y DXY T DYX = DXY        = = = = T WZ YX T ZW XY T W W YY T ZZ XX D FD K D KD F D FD F D KD K        = = = = = = = = T YX T WZ YX T XY T ZW XY T YY T W W YY T XX T ZZ XX Q F Q K FQ K Q K Q F KQ F Q F Q F FQ F Q K Q K KQ K 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0                    = = = = T WZ YX T ZW XY T W W YY T ZZ XX Q FQ K Q KQ F Q FQ F Q KQ K ( , , , ) L1 L2 Ln Z = f  dL KdL L f dL L f dL L f dZ n n =   + +   +   = 2  2 1 1

af[y0..0/plV00afafaf.On=KQuKT/ p2.[aL, aL,aL,......1/00pnLaL.1=+(1af21Qn=+.+PaL,Pn这就是独立观测值的权倒数与其函数的权倒数之间的关系式，通常称为权倒数传播律，它是协因数传播律的一种特殊情况。协因数传播律与协方差传播律在形式上完全相同，因此，应用协因数传播律的实际步骤与应用协方差传播律的步骤相同。举例讲解（约30四、协因数传播率及其在测量中的应用分钟)课堂教学小结：1.协因数、协因数阵；2.权阵；3：协因数传格華及其在测量中的应用。第8次第3页

课 这就是独立观测值的权倒数与其函数的权倒数之间的关系式，通常称为权倒数传播 律，它是协因数传播律的一种特殊情况。协因数传播律与协方差传播律在形式上完全相 同，因此，应用协因数传播律的实际步骤与应用协方差传播律的步骤相同。 四、协因数传播率及其在测量中的应用 举例讲解（约 30 分钟） 课堂教学小结： 1.协因数、协因数阵； 2．权阵； 3．协因数传播率及其在测量中的应用。 第 8 次 第 3 页                                                       =  = n n n T ZZ LL L f L f L f p p p L f L f L f Q Q K          2 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Z n n ZZ L p f L p f L p f P Q 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 1 2 2 1   + +   +   = = 