西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（标准化作业及答案，上册）05 极限运算法则

系别 班级 姓名 学号 高等数学作业5极限运算法则 一在“必要”“充分”“充分必要”中选择一个填入下列空中 1.数列有界是数列收敛的 条件,数列收敛是数列有界的条 件 注意:“有界”是数列“收敛”的必要而非充分条件,例如{(-1)”有界,但该数列发散 2.f(x)在x0的去心邻域内有界是limf(x)存在的条件,limf(x)存在是 f(x)在x0的去心邻域内有界的条件。 注:在x0的去心邻域内“有界”也仅是imnf(x)“存在”的必要而非充分条件,例如 sin2≤1,但mgnx不存在 3.f(x)在x0的某一邻域内无界是limf(x)=∞的 条件,limf(x)=∝ 是f(x)在xo的某一邻域内无界的条件。 注:f(x)在x0的某一邻域内“无界”也仅是limf(x)=∞的必要而非充分条件,例如: x取有理数 T)= 在x=0附近无界,但limf(x)不存在且非∞。 0,x取无理数 4.f(x)当x→x0时,左极限f(xo-0)和右极限∫(xo+0)存在且相等是lmf(x)存 在的条件。 注:该命题为我们提供了当f(x)在x0两侧表达式不同时求imnf(x)的理论依据。 、计算下列极限 1.im(1+++…+) 2. lim +2+3+…+(n-

3. lit (n+1)(n+2)(n+3) 5 m 三、讨论下列分段函数的极限: 1 1.limf(x),其中f(x)= x0 1,x0; 四、证明题: 1.证明:若 limr=∞,imyn=∞,则 lim r,y=∞ 18

2.证明若lmx2,=a,limx2n1=a则 limx=a 五、讨论题: 设lmx,存在,而lmyn不存在,试讨论下列极限是否存在。 1.imn(x,±yn 2.im(xn·yn) 六、计算下列极限: 1.im3-1 2.lim(√(x+1)(x+2)-x)

3.m1 4. lim rI1-e 5. lim arctan 6. lim arctan 七、选作题 1.证明 limin()不存在 2.试求常数a,b使lim 4 (提示:由lm(x2-ax+b)=0得b=2a-4,代入分子后,分解因式,得x2-ax+ (x-2)(x+2-a))