同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 质点组力学 §2.7 变质量物体的运动

第二章 质点组力学

第二章 质点组力学

§2.7变质量物体的运动 导读 ·变质量物体动力学方程 ·火箭发射

§2.7 变质量物体的运动 • 变质量物体动力学方程 • 火箭发射 导 读

1变质量物体的运动方程 物体质量不为常数的情况，火箭、传送带、雨滴等。 设一物体在t时质量为m,速度是y,同时一微小质 量△m以速度u运动，并在△时间内与m相合并，合并后 共同速度是叶△v.如果作用在m及△m上的合外力为F, 则由动量定理，得 m+△m行+△-m-△mi=F1

物体质量不为常数的情况，火箭、传送带、雨滴等． 设一物体在t时质量为m，速度是v，同时一微小质 量m以速度u运动，并在t时间内与m相合并，合并后 共同速度是v+v. 如果作用在m及m上的合外力为F， 则由动量定理，得 m + m (v + v)− mv −mu = Ft      ( ) 1 变质量物体的运动方程

只保留一阶小量，得 dm mv) u=F u是代表微质量△m未与m合并以前或自m分出后一刹 那的速度.如=0，则可以简化为 (mm)= 如果=y,则简化为牛顿运动方程的形式

只保留一阶小量, 得 u F t m mv t    − = d d ( ) d d u是代表微质量m未与m合并以前或自m分出后一刹 那的速度. 如u = 0, 则可以简化为 mv F t   ( ) = d d 如果 u = v, 则简化为牛顿运动方程的形式

例1、已知火箭从静止开始发射，质量为，=2.72×10°kg 火箭以 dn=-129×10kgS速率喷射气体.气体喷出 速度为y,g=5.50×10ms 求火箭在发射155秒的速度. 解：受力只有重力，所以 dt (m)- dm u=mg dt dm dt (i-)=m8 dt 选取向上为正向

例1、已知火箭从静止开始发射，质量为 2.72 10 kg 6 m0 =  火箭以 1.29 10 kg/s d d 3 = −  t m 速率喷射气体. 气体喷出 速度为 5.50 10 m/s 4 vrel =  求火箭在发射155秒的速度. 解: 受力只有重力, 所以 选取向上为正向 ( ) ( ) u v mg dt dm v dt d m u mg dt dm mv dt d        − − = − = ( )

dv dm =一8 dt m dt m vs Vo+vrd m -8t dm 从题已知，m,=dt =(2.72×10°-1.29×103×155)kg =2.52×10kg 所以 yr=2.68×103ms

g t m m v t v rel + = − d d d d    + = − m t m rel v v g t m m v v f f 0 d d d 0 0 gt m m v v v f f rel −         = + 0 0 ln 从题已知, ( ) 0 6 3 6 d d 2.72 10 1.29 10 155 kg 2.52 10 kg f m m m t t = − =  −   =  2.68 10 m/s 3 所以 vf = 

例2有一链条其单位长度的质量为p。上端盘着放在平 台上的，下端沿着光滑的斜面下滑，如图所示。试求链 条沿斜面滑下的长度为x时，这段链条的速度是多少？斜 面与水平面的夹角为a是已知的。 解：这是一个变质量问题。取斜面 的一段链条为m,mxp。取平台 上即将下滑的微元段为dm=pdx, 所以dm的速度u=0,作用在dm上 的外力在这里也可忽略不计。因此 m+dm组成的系统所受的外力有这 段链条的重力mg,它作用在x这段 链条的质心上，即x2处。还有一 个斜面对它的约束的反作用力N, 垂直于斜面

例2 有一链条其单位长度的质量为ρ。上端盘着放在平 台上的，下端沿着光滑的斜面下滑，如图所示。试求链 条沿斜面滑下的长度为x时，这段链条的速度是多少？斜 面与水平面的夹角为α是已知的。 解: 这是一个变质量问题。取斜面 的一段链条为m，m=x。取平台 上即将下滑的微元段为dm=dx， 所以dm的速度u=0，作用在dm 上 的外力在这里也可忽略不计。因此 m+dm 组成的系统所受的外力有这 段链条的重力mg，它作用在x这段 链条的质心上，即x/2处。还有一 个斜面对它的约束的反作用力N， 垂直于斜面。 

应用可变质量物体的动力学方程 (m)-血i=∑ -(mv)=mgsin a dt dt w）)=mgma=d()=gna 此等式两边同乘以xx xxd(x)=xxxgsin adt =x2g sin aodt x2g sin adx 两边积分，并考虑到初始条件=0时，x=0,x=0,可得 2 8sncxx 3

应用可变质量物体的动力学方程 ( ) ( ) sin  ( ) m v m g dt d u F dt dm mv dt d e −  =  i  =    xx x g d xx x g dt dt d m v dt d ( ) = ( ) =  sin   ( ) = sin  此等式两边同乘以 xx xxd(xx) xxx gsin dt x g sin xdt x g sin dx 2 2   =  =  = 两边积分，并考虑到初始条件t=0时，x=0, x  =0,可得 2 2 3 sin 3 1 2 1 x x = g   x x = g sin   x 3 2 2 

2火箭飞行原理 设： v+do t时刻：火箭的质量为m, 速度为v; t+dt时刻： 火箭的质量为tdm 速度为o+do 喷出气体的质量为-dm 相对于火箭的速度为u

2 火箭飞行原理 设： t 时刻：火箭的质量为m， 速度为v； t +dt 时刻： 火箭的质量为m+dm 速度为v + dv 喷出气体的质量为-dm 相对于火箭的速度为ur ur v +dv

m=(m+dmyo+dv)-dm(o+do-u,) 略去二阶无穷小量dmdw dm d0=-4 m 设：初始0，=0 火箭总质量0， 壳体本身的质量为m1,燃料耗尽时火箭的速度为) do=-u m dm mo m

( ) ( ) m = m+dm +d dm v+d v−ur v (v v)- 略去二阶无穷小量 dmdv m m u d d v = − r 设：初始 0 v0 = 火箭总质量 m0 ， 壳体本身的质量为m1 ，燃料耗尽时火箭的速度为 v   = − 1 0 d d r 0 m m m m v u v