中国石油大学（华东）：《理论力学 Theoretical Mechanics》课程教学课件（讲稿）第五章 分析力学

第五章分析力学 ©分析力学与矢量力学（牛顿力学） ©分析力学的创立 。分析力学的研究对象及研究方法

第五章 分析力学 分析力学与矢量力学（牛顿力学） 分析力学的创立 分析力学的研究对象及研究方法

§5.1约束与广义坐标 一、约束的概念和分类 1.约束 对n个质点构成的力学系统，在不受约束时，确定其 位形需要3个独立坐标。当系统的运动受到约束时，确 定其位形的独立坐标数目应小于3n。 约束：事先给定的限制系统内各质点自由运动的条件。 这个条件（即约束）用数学式子表示为： fa(,t)=0 (i=1,2,.;a=1,2,.k) ——约束方程

§5.1 约束与广义坐标 一、约束的概念和分类 对n个质点构成的力学系统,在不受约束时,确定其 位形需要3n个独立坐标。当系统的运动受到约束时，确 定其位形的独立坐标数目应小于3n。 约束 :事先给定的限制系统内各质点自由运动的条件。 trf = 0),( ia K ——约束方程 = .ni α = . k),2,1;,2,1( 这个条件（即约束）用数学式子表示为 : 1. 约束

2.约束的分类 根据约束方程中是否显含时间t,我们把约束方程分 为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束：f()=f(x,y,z;)=0 不稳定约束：)=x)=0 稳如：x2+y2+z2=12 不稳如：(x-ct)2+y2+z2=2 根据约束是否可以被解脱可分为： 不可解约束（双面约束）：f()=0 1可解约束（单面约束)：f()≤0或f(⑦)≥0

2.约束的分类 根据约束方程中是否显含时间t,我们把约束方程分 为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束： 不稳定约束： 0 根据约束是否可以被解脱可分为： 不可解约束(双面约束）： 可解约束（单面约束）： 稳如： 2222 =++ lzyx ia = iiia ,t),z,y(xf,t)r(f = K = = 0),()( iiiaia zyxfrf K 不稳如： 2222 )( =++− lzyctx = 0)( ia rf K ≤ 0)( ia rf K ≥ 0)( ia rf K 或

约束还可以分为几何约束和运动约束： 几何约束（也叫完整约束)f()=0或f(,t)=0 运动约束（也叫微分约束或不完整约束或非完整约束） fm(,i)=0 或fn(i,i,t)=0 注意：能被积分的微分约束是几何约束，而不是微分 约束. 力学系统的分类 完整系统：只受完整约束的系统 非完整系统：同时受完整约束和不完整约束的系统 本课程中只研究完整力学系统

约束还可以分为几何约束和运动约束： 几何约束（也叫完整约束） 运动约束（也叫微分约束或不完整约束或非完整约束) = trfrf = 0),(0)( ia ia K K 或 rrf = 0,( trrf = 0),( iia iia  K K  K K ） 或 注意：能被积分的微分约束是几何约束，而不是微分 约束. 力学系统的分类 完整系统：只受完整约束的系统. 非完整系统：同时受完整约束和不完整约束的系统. 本课程中只研究完整力学系统

二、广义坐标 若n个质点组成的力学系统受到k个完整约束，则系 统的独立数为3n-k=s个。因此用s个独立坐标就可描述 系统的位形。 对完整系统：定义描述系统位形的独立坐标数s=3-k 为系统的自由度. 由于3n个坐标中独立的只有s个，因此可选取适当 的S个独立参量41,92，9及t把那3个不独立的坐标 表示出来。 即：i=(q1,q2,.4,t) (i=1,2.;s<3n) 这s个参量91,92.9，称为系统的广义坐标

二、广义坐标 若n个质点组成的力学系统受到k个完整约束，则系 统的独立数为3n-k=s个。因此用s个独立坐标就可描述 系统的位形。 对完整系统:定义描述系统位形的独立坐标数s=3n-k 为系统的自由度. qqq s , 2,1 " 由于3n个坐标中独立的只有s个，因此可选取适当 的S个独立参量 及t把那3n个不独立的坐标 表示出来。 即： )3;2,1(),( 21 nsnitqqqrr = ii . s = . < KK 这s个参量 称为系统的广义坐标. 21 .qqq s

注意：（1)广义坐标41,92.4、一般都是时间的函数、 （2)S个广义坐标可选取3n个坐标中的某s个，也可选 另外的$个合适的参量.它们不一定是长度，也可是其 他物理量（如动量，角孤度，体积极化强度等）. (3)选广义坐标的两个要求： a).所有质，点在任意时刻位矢都能表示成广义坐标的 函数，这些函数还应是单值连续的，一般还显含， 即：F=(41,42.4s0 b).41.9,都应满足约束方程fn(T,t)=0, 满足上述要求的41.4，可以有很多，但具体选 取时视方便而定

（1）广义坐标 一般都是时间的函数. 21 .qqq s , （2）S个广义坐标可选取3n个坐标中的某s个,也可选 另外的S个合适的参量.它们不一定是长度,也可是其 他物理量(如动量，角弧度，体积极化强度等). （3）选广义坐标的两个要求： a).所有质点在任意时刻位矢都能表示成广义坐标的 函数，这些函数还应是单值连续的，一般还显含t, 即: ),( 21 tqqqrr = ii . s K K b). 都应满足约束方程 s .qq1 trf = .0),( ia K 注意： s .qq 满足上述要求的 可以有很多，但具体选 1 取时视方便而定

对完整系统： 自由度数=独立坐标数=广义坐标数。 对非完整系统： 广义坐标的数目大于自由度数目

对完整系统: 自由度数=独立坐标数=广义坐标数。 对非完整系统: 广义坐标的数目大于自由度数目

§5.2虚功原理 一、实位移与虚位移 设质，点的运动规律为 产=r(t) 当t变化时，下也变化dr=示dt。即t发生dt变化时，F 发生r变化。当dt=0时，d示=0。 我们把这种质点由于运动而实际发生的位移称为实位移。 实位移：质点由于运动实际发生的位移，用表示。 我们也可以想象在某一时刻，质点在约束许可的情 况下发生了一个无限小的位移，但这一位移不是由于质 点的运动而实际发生的，而是想象的可能的位移。 发生这个位移不需要时间，我们把这种不是由于时间 的改变而引起的位移称为虚位移。 虚位移：设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用所表示

§5.2虚功原理 一、实位移与虚位移 设质点的运动规律为 trr )( K K = 实位移：质点由于运动实际发生的位移, 用 表示。 rdK 我们把这种质点由于运动而实际发生的位移称为实位移。 dtrrd  K K = dt = 0 rd = 0 K r K 当t变化时， 也变化 。即t发生 变化时， 发生 变化。当 时， 。 dt rK rdK 我们也可以想象在某一时刻t，质点在约束许可的情 况下发生了一个无限小的位移，但这一位移不是由于质 点的运动而实际发生的，而是想象的可能的位移。 发生这个位移不需要时间，我们把这种不是由于时间 的改变而引起的位移称为虚位移。 虚位移:设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用 表示。 rK δ

实位移：质点由于运动实际发生的位移，用表示。 虚位移：设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用亦表示。 虚位移与实位移之不同 1.实位移是运动学概念，虚位移是几何概念。实位移 是自变量变化引起的函数变化。虚位移是函数自身 的变化。 2.实位移受运动规律和约束条件的限制，而虚位移只 受约束条件的限制。 3.实位移只有一个，而虚位移有无数个。 4.在稳定约束下，实位移是许多虚位移中的一个。但 在不稳定约束下，实位移并不是虚位移中的一个。 5.d标是微分，亦是等时变分

虚位移与实位移之不同 1.实位移是运动学概念，虚位移是几何概念。实位移 是自变量变化引起的函数变化。虚位移是函数自身 的变化。 2.实位移受运动规律和约束条件的限制，而虚位移只 受约束条件的限制。 3.实位移只有一个，而虚位移有无数个。 4.在稳定约束下，实位移是许多虚位移中的一个。但 在不稳定约束下，实位移并不是虚位移中的一个。 实位移：质点由于运动实际发生的位移, 用 表示。 rd K 虚位移 :设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用 表示。 r K δ 5. 是微分， 是等时变分。 rd K r K δ

二、理想约 作用在质点上的力在虚位移中作的功叫虚功。在实位 移中作的功叫实功（简称功)。 如果作用在一力学系统上的诸约束力在任意位移中作 的功之和为零即 ∑r所，=0 i=1 则这种约束称为理想约束 引入虚位移的目的，就在于利用 R6，=0 来消去约束力。 i=1

二、理想约束 作用在质点上的力在虚位移中作的功叫虚功。在实位 移中作的功叫实功（简称功）。 如果作用在一力学系统上的诸约束力在任意位移中作 的功之和为零.即 0 1 ∑ =⋅ = i n i i rR K K δ 引入虚位移的目的，就在于利用 来消去约束力。 0 1 ∑ =⋅ = i n i i rR K K δ 则这种约束称为理想约束