中国石油大学（华东）：《理论力学 Theoretical Mechanics》课程教学课件（讲稿）第三章 刚体力学 3.5 刚体的转动惯量

第三章 刚体力学 §3.5刚体转动惯量 超卓课程

第三章 刚体力学 §3.5 刚体转动惯量

§3.5刚体转动惯量 导读 动量矩、动能的计算 转动惯量的计算 超卓谋程

导读 •动量矩、动能的计算 •转动惯量的计算 §3.5 刚体转动惯量

§3.5刚体转动惯量 1列体的动量矩 刚体以o作定点转动，其中质点P对定点的位矢是r, 则质点对定点的动量矩为下×m, 整个刚体对定点的动量矩为 J=∑xm,)-∑m6xox》 =∑m,@m2-@》 思考：J的方向 动量矩（角动量）一般不与刚体的角速度共线.（动量与速度总共线） 只有当而·下=0时：J才与同方向. 超卓课程

刚体以作定点转动, 其中质点Pi对定点的位矢是ri , 则质点对定点的动量矩为 i i i r m v    整个刚体对定点的动量矩为        i i i i m r r     动量矩（角动量）一般不与刚体的角速度共线.(动量与速度总共线) 1 刚体的动量矩 §3.5 刚体转动惯量 思考：J的方向

J-∑m,or2-(@》 在直角坐标系下下=x,i+yj+,k 而=0i+0,j+0. 所以 J.=∑m,回.(k+7+}-xox,+0,乃+@，月 =o.∑m+-o,∑mxy-o∑m,x J,=-m∑myx,+o,∑m,(+x-o.∑my J.=-o∑m,x-@,∑m,+@∑m,(+） 超卓谋程

在直角坐标系下 所以 o   

引入符号 1=∑m,6y+=1x- miy x n=∑m,(6+x）1.=1.=∑ m=xi 1.=∑m,(k+） 1=1=∑my 刚体对各轴的轴转动惯量 惯量积 对形状规则的刚体，将各惯量写为积分形式 ln=∫62+z2Hm1g=1x=∫xdm I,=[(e"+x")dm 1e=Lx=∫zxdm 1.=∫x2+y2m1.=1n= yzdm 超卓课程

引入符号      i xx i i i I m y z 2 2      i yy i i i I m z x 2 2      i z z i i i I m x y 2 2 i i xy yx i i I  I   m y x i i xz z x i i I  I   m z x i i yz z y i i I  I   m z y 刚体对各轴的轴转动惯量 惯量积 对形状规则的刚体，将各惯量写为积分形式

Js=Iw@x-Is@y-Ix@: J,=-Ix0.+In0,-0 J:=-I@x-Is@y+I-@: 0 动量矩表达式简化为 三个轴转动惯量和六个惯量 积作为统一的一个物理量， 代表刚体转动的惯性的量度 J-I.0 ，可以写为矩阵的形式 叫做惯量张量，元素叫惯量张量的组元或惯量系数 超卓谋程

动量矩表达式简化为 三个轴转动惯量和六个惯量 积作为统一的一个物理量, 代表刚体转动的惯性的量度 ，可以写为矩阵的形式 叫做惯量张量, 元素叫惯量张量的组元或惯量系数

2刚体的转动动能 刚体以作定点转动，对定点o的转动动能为 7=∑m-∑m可=2a×) =20-∑7xmr( 20 )l02+1n0,2+102-210,0-210.0-210.0, 超卓课程

刚体以作定点转动, 对定点o的转动动能为 2 刚体的转动动能

3刚体的转动惯量 刚体对定点的转动动能也可以写为 T=2Σm,9=2∑m,@x)ox) o∑sin'g=o∑mp 和上页的动能关系式不同，意义为何？ 9为P的位矢，与角速度矢量o之间的夹角， p,为自P至转动瞬轴的垂直距离， I称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量.1=∑m,P 超卓谋程

刚体对定点的转动动能也可以写为 i为Pi的位矢 ri与角速度矢量之间的夹角, i 为自Pi至转动瞬轴的垂直距离， I 称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量. 和上页的动能关系式不同，意义为何？ 3 刚体的转动惯量

I=r(假定刚体质量集中于一点)→r。=VI1m 回转半径 I=∑mp 物体的转动惯量决定于物体的质量分布的情 况，又决定于转动轴的位置.转动轴不同，即 使是同一物体转动惯量也不同. 平行轴定理：若刚体对过质心的轴的转动惯量为I, 则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的 转动惯量L,是I,=I+md 超卓课程

回转半径 z G r 物体的转动惯量决定于物体的质量分布的情 况, 又决定于转动轴的位置. 转动轴不同,即 使是同一物体转动惯量也不同. 平行轴定理：若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Ic ， 则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的 转动惯量 Iz是 2 I I m d z  c 

质量为m,长为1的细棒绕通过其质 心、端点的垂直轴的转动惯量分别为 dm 0 Ic ml2 I= ml2 3 质量为m,半径为R的均匀圆盘，通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量 超卓谋程

质量为 m, 长为 l 的细棒绕通过其质 心、端点的垂直轴的转动惯量分别为 o x z dx dm x 2 3 1 I  ml 2 12 1 I ml C  质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘, 通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量 2 2 1 I  mR o r dr R