同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 分析力学 5.3 拉格朗日方程

第五章 分析力学

第五章 分析力学

§5.3拉格朗日方程 导读 •达朗贝尔原理 ·基本拉格朗日方程 ·广义速度广义动量 ·保守系的拉格朗日方程 ·循环积分

• 达朗贝尔原理 • 基本拉格朗日方程 • 保守系的拉格朗日方程 导读 §5.3 拉格朗日方程 • 循环积分 • 广义速度 广义动量

1达朗贝尔原理 按照牛顿运动定律，力学系统的第质点的运动方程是 F,+R-m,元=0 只要把最后一项理解为一种力，上式就变为平衡方程的 类型.事实上，研究第质点的运动时，若选用跟随这质点 一同平动的参考系统，这质点显然是（相对）静止的，它应 当遵守平衡方程.最后一项就是惯性力.这就叫作达朗贝 尔原理 ∑（厅-m)苏=0 (5.23) 达朗贝尔拉格朗日方程

按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是 + − = 0 i i i i F R m r     只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的 类型. 事实上, 研究第i质点的运动时, 若选用跟随这质点 一同平动的参考系统, 这质点显然是(相对)静止的, 它应 当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫作达朗贝 尔原理. ( ) 0 (5.23) 1  −  = = n i i i i i F m r r      ——达朗贝尔-拉格朗日方程 1 达朗贝尔原理

达朗贝尔原理是以牛顿定律加上理想约束假定 作为逻辑推理的出发点导出的.从这个基本法出发 再利用约束对虚位移的限制关系式，可以导出力学 系统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规 律.由于约束的性质是纯几何的或运动学的，因此可 认为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基 本方程，故称之为“原理”.这比承认牛顿定律再加 上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性， 当存在非理想约束时，达朗贝尔原理也适用，它可叙 述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和 为零.对于完整约束或非完整约束，这个原理都适用， 因此它可以称为分析动力学的普遍原理

达朗贝尔原理是以牛顿定律加上理想约束假定 作为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发 再利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力学 系统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规 律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的, 因此可 认为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基 本方程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿定律再加 上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性. 当存在非理想约束时, 达朗贝尔原理也适用,它可叙 述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和 为零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此它可以称为分析动力学的普遍原理

2动力学普遍方程 ∑(f-m,a)6n=0 (i=1,2,m F=匠，FwF小=（民5=6分%6） 方程的直角坐标形式 ∑(-m)6x+(-m,)6+(f。-m)6=0 i=1,2,m 适用于具有理想约束或双面约束的系统： 适用于具有稳定（或非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统

i n F m x x F m y y F m z z i i y i i i i z i i i i i x i i = , ,  ,  −  + −  + −  = 1 2 (  ) δ (  ) δ (  ) δ 0 方程的直角坐标形式 ( m ) δ 0 (i 1 2 n) i i i i i  F − a  r = = , ,  , 适用于具有稳定（或非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统。 适用于具有理想约束或双面约束的系统； 2 动力学普遍方程 ( ) ( ) ( ) i i x i y i z i i i i i i i i F = F , F , F , a =  x  ,  y  ,  z  ,δ r = δ x ,δ y ,δ z

大达朗贝尔一拉格朗日方程主要应用于求解动力 学第二类问题，即：己知主动力求系统的运动规 律。 *应用达朗贝尔一拉格朗日方程求解系统运动 规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施 加惯性力。 应用达朗贝尔一拉格朗日方程时，需要正确 分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计 算相应的虚功。 由于达朗贝尔一拉格朗日方程中不包含约束 力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆 开

＊ 达朗贝尔－拉格朗日方程主要应用于求解动力 学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规 律。 ＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程求解系统运动 规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施 加惯性力。 ＊ 由于达朗贝尔－拉格朗日方程中不包含约束 力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆 开。 ＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程时，需要正确 分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计 算相应的虚功

3应用举例 例题1 离心调速器 已知： m,一球A、B的质量； m2-重锤C的质量； 一杆件的长度； 0一O1y,轴的旋转角速度。 求： o一a的关系

例 题 1 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： －  的关系。 A  B C l l l l   O1 x1 y1 3 应用举例

解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系 统具有一个自由度。 取广义坐标q=a 1、分析运动、确定惯性力 球4、B绕轴等速转动；重锤静止不动。 Sa 球A、B的惯性力为Fi4=FB=mlsina B →FB2、给系统有一虚位移。A、B、C 18 718 三处的虚位移分别为δr4、δrB、δrC 3、应用达朗贝尔一拉格朗日方程 28 Fu5 xa+FB8 xB+mg8y +mng6 y8+m2g 8ye=0

解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系 统具有一个自由度。 取广义坐标q= 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 2 I I F A ＝ F B ＝ m lsin   2、给系统有一虚位移 。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、 rC  C l l l   l O1 x1 y1 A B FIA FIB m1 g m1 g m2 g  rB rA rC 3、应用达朗贝尔－拉格朗日方程 δ δ 0 δ δ δ 1 2 I I 1 +  +  =  +  +  B C A A B B A m g y m g y F x F x m g y

根据几何关系，有 X=-lsina δx=-lc0saδa B ylcosa oy4=-lsinaòa xs=lsina δxB=lcosaδa Y8=lcosa dyg=-lsinaδa g Yc=2lcosa oyc=-2 lsinaòa F464卡F房6卡m86y4+86yg+m28ye=0 2milsimaolcosas a-2mglsin a8 a-2m2glsim a8 a=0 o2=m1+m,8 m lcosa

根据几何关系，有 sin cos sin cos 2 cos A A B B C x l y l x l y l y l      ＝- ＝ ＝ ＝ ＝ δ cos δ δ sin δ δ cos δ δ sin δ δ 2 sin δ A A B B C x l y l x l y l y l           − − − ＝- ＝ ＝ ＝ ＝ 2 sin co s δ 2 sin δ 2 sin δ 0 1 2 2 1 m l   l   − m g l   − m g l   =   cos ( ) 1 2 1 2 m l m + m g = δ δ δ δ δ 0 I I 1 1 2  +  +  +  +  = A A B B A B C F x F x m g y m g y m g y  C l l l   l O1 x1 y1 A B FIA FIB m1 g m1 g m2 g  rB rA rC

例题2 质量为m,的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上。质量 为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱 柱的斜面AB无滑动地滚下。 D 求：1、三棱柱后退的加 速度41； 2、圆轮质心C,相对于三 C 棱柱加速度a,。 99w9元

例题2 质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上。质量 为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱 柱的斜面AB无滑动地滚下。 求：1、三棱柱后退的加 速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar。 x y C2 D C1 A C B  O