同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 分析力学 5.4 小振动

第五章 分析力学

第五章 分析力学

§5.4小振动 导读 ·动能和势能的泰勒展开 ·线性齐次方程的求解 ·简正频率 ·简正坐标

导读 • 动能和势能的泰勒展开 • 线性齐次方程的求解 • 简正频率 • 简正坐标 §5.4 小振动

1多自由度力学体系的小振动 一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的 广义坐标均等于零.如果力学体系自平衡位置发生微小偏 移，力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数， 9a9p+O(q') 利用保守体系的平衡方程，略去二级以上的高级项并 令V=0,就得到

1 多自由度力学体系的小振动 一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的 广义坐标均等于零. 如果力学体系自平衡位置发生微小偏 移, 力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数, ( ) 2 1 2 1 1 0 2 1 0 0 q q O q q q V q q V V V s s +            +           = +  = = =          利用保守体系的平衡方程, 略去二级以上的高级项并 令V0=0, 就得到      V c q q s = = 2 , 1 1

在稳定约束时，动能T只是速度的二次齐次函数，即 .B= 式中系数ag是广义坐标qa的显函数.把aaB在力学体系 平衡位形的区域内展成泰勒级数，就得到 9,+0(q 由于4值很小，因此展开式中只保留头一项，动能T变为

在稳定约束时, 动能T只是速度的二次齐次函数, 即 式中系数a是广义坐标q的显函数. 把a 在力学体系 平衡位形的区域内展成泰勒级数, 就得到 由于q值很小, 因此展开式中只保留头一项, 动能T变为      T a q q s    = = 2 , 1 1 ( )0 1 0 ( ) s q O q q           =    = + +        

T-a9.9 a,B=1 现在式中系数aap是不变的.caB称为恢复系数或准弹 性系数，而aaB则称为惯性系数

     T a q q s    = = 2 , 1 1 现在式中系数a是不变的. c  称为恢复系数或准弹 性系数, 而a 则称为惯性系数.         = =      V c q q s 2 , 1 1

所以 B= ot qa Bqa B=I 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体 系在平衡位置附近的动力学方程

所以 0 , d d , 1 1 =   =          =     = =          q T a q q T t a q q T s s         c q q V s = =   1 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体 系在平衡位置附近的动力学方程

立白9+cw9）=0,e=l2, 这是线性齐次常微分方程组，它的解qB=Ae“ 式中A及是常数.把这表示式代回，得 Σ4,0n+c)=0,(口=12.，）

( ) ( ) = + = = s a q c q s 1 0, 1,2, ,           这是线性齐次常微分方程组, 它的解 t q A e   =  式中A 及是常数. 把这表示式代回, 得  ( ) ( ) = + = = s A a c s 1 2 0, 1,2, ,         

从行列式 a2+c1 a22+c2 ais+Cis a212+c21 a22+c2 a2.2+c2s =0 a22+Ca22+c2 .a2+Css 求出2s个元的本征值20=1,2，2s).然后求出一组4g9, 方程式的解即是 (B=1,2,.,S)

从行列式 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 = + + + + + + + + + s s s s s s s s s s s s a c a c a c a c a c a c a c a c a c                 求出2s个的本征值l , (l＝1,2,.,2s). 然后求出一组A (l) , 方程式的解即是 ( 1,2, , ) 2 1 ( ) q A e s s l l t =  l =  =    

为了物体在平衡位置附近振动，则力学体系的势能V>0 (即平衡位置V=0是极小值)，方程所有的根2为纯虚数， 既然2是纯虚数，因此可令，=±iy, 这样，解可以写为 =∑4，e+,”ew] 实数解为 9= e,”cos+b,”sn 实际上，我们把的某一本征值2代入原方程后，并不能 得出s个互相独立的常数A(B=1,2,.S),而只能得出它 们的比，因为此时系数行列式等于零.如果行列式的s-1) 阶代数余子式中有一个不等于零，则在一组解4中只有 一个数是可以任意取的.如果设此常数为40，则4g可写 为 4g=A△e)

为了物体在平衡位置附近振动, 则力学体系的势能V > 0 (即平衡位置V＝0是极小值), 方程所有的根l为纯虚数. 既然l是纯虚数, 因此可令 l l  = i 这样, 解可以写为   = − = + s l l i t l i t l l q A e A e 1 ( ) ( ) '      实数 解为   = = + s l l l l l q a t b t 1 ( ) ( )   cos  sin  实际上, 我们把的某一本征值l代入原方程后, 并不能 得出s个互相独立的常数A ( ＝1,2,.,s), 而只能得出它 们的比, 因为此时系数行列式等于零. 如果行列式的 (s-1) 阶代数余子式中有一个不等于零, 则在一组解A中只有 一个数是可以任意取的. 如果设此常数为A(l) ,则A (l)可写 为 ( ) 2 1 ( ) ( ) l l l A = A   

即A0=A0△（）A=A0△2（，A=A△.（) 在方程的解中共有2s2个常数，因为每个对应一个任意 常数，而共有2s个，所以2s2个常数只有2s个是独立的.这 2s个常数，可由起始条件决定，即t=0时的初始位置和初 始速度应为已知.这样， 9=a,”+4"△，人k] 实数解： g=∑eA,()eosy+b"A,人sny 这里的y叫做简正频率，它的数目共有s个，和力学体系 的自由度数相等

即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 , , , s l l l l s l l l l l A = A   A = A    A = A   在方程的解中共有2s 2个常数, 因为每个l对应一个任意 常数, 而共有2s个l , 所以2s 2个常数只有2s个是独立的. 这 2s个常数, 可由起始条件决定, 即t＝0时的初始位置和初 始速度应为已知. 这样，  ( ) ( )  = − =  − +  − s l i t l i t l l l l l q A e A e 1 ( ) 2 ( ) 2 '         ( ) ( )  = =  − +  − s l l l l l l l q a t b t 1 ( ) 2 ( ) 2    cos   sin  实数解： 这里的l叫做简正频率, 它的数目共有 s个, 和力学体系 的自由度数相等