同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 分析力学 5.6 泊松括号与泊松定理

第五章 分析力学

第五章 分析力学

§5.6泊松括号与泊松定理 导读 •泊松括号的定义 •泊松括号的性质 泊松定理 量子泊松括号

导读 •泊松括号的定义 •泊松括号的性质 •泊松定理 •量子泊松括号 §5.6 泊松括号与泊松定理

1泊松括号的定义 如果函数p是正则变量q,P。和时间的函数 9=p(tq1,92,.,93p1,p2,.,p、） 则它对时间的导数为 do bp dt Ot OQa 19 pa Opa oo ap aH 0o OH Ot Oqa Opa opa 8qa 2+[,] 8 其中[o,田叫做泊松括号

如果函数是正则变量q , p 和时间的函数 1 泊松括号的定义 ( ; , , , ; , , , ) 1 2 s 1 2 s  =  t q q  q p p  p 则它对时间的导数为  H  t q H p p H t q p p q t t q s s , d d 1 1                    +   =             −     +   =           +   +   =   = =   其中[, H]叫做泊松括号

因为p,q都是相互独立的，所以 Op a= 0q&-0 这样，正则方程也可以简化为 p。=[p.,H]9。=[gm,H] (a=1,2,.,s） 如果函数在运动中保持为常数，即C,则 Sk小-g

因为p, q都是相互独立的, 所以 , = 0   =   =   =              p q q p q q p p 这样,正则方程也可以简化为 p  =  p , H , q  = q , H  ( = 1,2,  ,s)     如果函数在运动中保持为常数,即 =C，则 +  ,  = 0   H t  

如果函数也是正则变量和时间的函数，泊松括号[∽，] 定义为 小 bp ow_bo ov ag。dp。p.dga

如果函数也是正则变量和时间的函数,泊松括号[,] 定义为   =           −     = s 1 q p p q ,           

2泊松括号的性质 ()[c,y]=0,如果c是常数 2)[p,w]=w,] 6)如v=立g,小-aw,小 (4)上p,w]=[p,-w小=[b,w] t- 6)[0,[p,wl+p,y,el+y,[0,pl=0 k小 9(8)[p,p]=0 (9)[p,w]=y[0,]+[p,wp

2 泊松括号的性质 (1) c,  = 0, 如 果c是常数 (2) ,  = − ,       = = = = n j j n j j ψ ,ψ 1 1 (3) 如 ,则 ,  (4) −,  = ,−  = −,            +        =   t ψ ,ψ , t ,ψ t   (5)  (6)  ,, + , , +  , ,  = 0       = =          0 1 (7) q , p (8) ,  = 0 (9) ,  = , + , 

3泊松定理 泊松定理： 如果函数∽，y都是相空间中的运动常数，则它们的组合 【p,少]也是相空间中的运动常数. 因为p=p(G41,92,.,9p1,P2,.,P,）=C1 V=y(G41,92,.,9p1,p2,.,P,）=C2 k小-皆小0 由泊松括号性质(6)知 V.t.Jlb.l.m+b.Vv.e.l-W.b.o-

3 泊松定理 泊松定理: 如果函数,  都是相空间中的运动常数, 则它们的组合 [,  ]也是相空间中的运动常数. 因为 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ; , , , ; , , , ) ( ; , , , ; , , , ) t q q q p p p C t q q q p p p C s s s s = = = =          ,  0, +  ,  = 0   + =    H t H t     由泊松括号性质(6)知             0 t , t , , , , , , , , , =        +        + + = −    H     H  H  H   

利用泊松括号的性质，得 e小e-n 显然[，也是运动常数.还可以通过类似的关系得到 更多的运动常数

利用泊松括号的性质, 得        ,  0 d t d , , , t + = =       H   显然[,]也是运动常数. 还可以通过类似的关系得到 更多的运动常数

4量子力学中的泊松括号 在经典力学中，两个力学量同时具有确定的值并 不成为问题.可是，在量子力学中这却是个问题.力学 量在量子力学中是用算符或矩阵表示的，两个算符或 矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵的先后次序 有关的.两个力学量X和Y是否可以同时具有确定的值 就看它们的量子泊松括号 是否为零

4 量子力学中的泊松括号 在经典力学中, 两个力学量同时具有确定的值并 不成为问题. 可是, 在量子力学中这却是个问题. 力学 量在量子力学中是用算符或矩阵表示的, 两个算符或 矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵的先后次序 有关的.两个力学量X和Y是否可以同时具有确定的值 就看它们的量子泊松括号   1 XY YX i −  是否为零

如果两个力学量的经典泊松括号为零，则它们的 量子松括号也为零，在量个力学中它们是可以同时 确定的.比如，任意两个广义坐标可以同时确定，任 意两个广义动量也可以同时确定，一个广义坐标和 对应的广义动量不能同时确定，一个广义坐标和非对 应的广义动量可以同时确定.又比如，角动虽的任意 两个分量不能同时确定，但角动量的一个分量和角 动量的平方可以同时确定：

如果两个力学量的经典泊松括号为零, 则它们的 量子松括号也为零, 在量个力学中它们是可以同时 确定的. 比如, 任意两个广义坐标可以同时确定, 任 意两个广义动量也可以同时确定, 一个广义坐标和 对应的广义动量不能同时确定,一个广义坐标和非对 应的广义动量可以同时确定. 又比如, 角动虽的任意 两个分量不能同时确定, 但角动量的一个分量和角 动量的平方可以同时确定