中国石油大学（华东）：《理论力学 Theoretical Mechanics》课程教学课件（讲稿）第三章 刚体力学

第三章刚体力学 §1.刚体运动的分析 一.描述刚体位置的独立变量 1.刚体 在力的作用下，形状和大小不变的物体称为刚体， 可见：刚体是一种特殊的质点组 是一种抽象的、理想化的模型 2.确定刚体位置的独立变量 确定刚体位置需要六个独立变量 3确定刚体位置的三种方法 (1).不共线的三个点. (2).任一点与过该点的一轴线加绕轴线的转角. (3).三个独立的角度（欧勒角）

一 . 描述刚体位置的独立变量 1. 刚体 在力的作用下,形状和大小不变的物体称为刚体. 可见: 刚体是一种特殊的质点组. 是一种抽象的、理想化的模型. 2.确定刚体位置的独立变量 确定刚体位置需要六个独立变量 3.确定刚体位置的三种方法 (1). 不共线的三个点. (2). 任一点与过该点的一轴线加绕轴线的转角. (3). 三个独立的角度(欧勒角). 第三章 刚体力学 §1. 刚体运动的分析

二.刚体运动的分类 1.平动：刚体运动时，其上的任意直线始终被此平行.3 2.定轴转动：刚体运动时，其中有两个质点始终不动.1 3.平面平行运动：刚体运动时，其上的任意点始终在平行 于某一固定平面的平面内运动.3 4定点转动：刚体运动时，其上有一点固定不动.3 5.一般运动：刚体不受任何约束的任意运动.6 刚体的一般运动=平动（基点） +定点转动（绕基点定点转动）. 讨论刚体运动主要在于研究刚体的转动

二. 刚体运动的分类 1.平动: 刚体运动时, 其上的任意直线始终被此平行. 2.定轴转动:刚体运动时, 其中有两个质点始终不动. 3.平面平行运动: 刚体运动时, 其上的任意点始终在平行 于某一固定平面的平面内运动. 4.定点转动: 刚体运动时, 其上有一点固定不动. 3 3 5.一般运动: 刚体不受任何约束的任意运动. 刚体的一般运动=平动(基点) +定点转动(绕基点定点转动). 讨论刚体运动主要在于研究刚体的转动. 3 1 6

§2.角速度矢量 一.有限转动和无限小转动 1.有限转动不是矢量 矢量：A+B=B+A 绕y轴转90度 绕z轴转90度 绕y轴转90度 绕z轴转90度

§2.角速度矢量 一 . 有限转动和无限小转动 x y z x y z x y z x y z x z y 绕z轴转90度 绕y轴转90度 绕y轴转90度 绕z轴转90度 1. 有限转动不是矢量 矢量： A B B A K K K K + = +

2.无限小转动是矢量 dn dn-角位移 dn do ”d dr rsin ode dr dnxr 第一次转动：先dn转再dn转 第二次转动：先dn转再dn转 dn dn'dn'dn 杭 对第一次转动：示→下+而= d '→+d dr dnxr 总位移： dr'=d'×'=di'×(产+df) dr dr' =dn'x(r+dnxr)=dn'xr dnx产+d×r

r K rdrK K + rdK dθ ϕ P P′ M o ndK ndK = dnd θ K -角位移 = sin drrd θϕ K rndrdK K K = × 第一次转动：先 转再 转 ndK nd ′ K 第二次转动：先 转再 转ndK nd ′ K ndndndndK K K K + ′ = ′ + 对第一次转动： rrdrr nd =+→ ′ K K K K K rdrr nd ′→ ′ + ′ ′ K K K K rndrd KKK = × rndrndrnd rdrndrndrd KKKKKK K K K K K K = ′ =×+× ′× ′ = ′× ′ = ′× + )( )( rndrnd rdrd KKKK K K +× ′× + ′ = 总位移： 2. 无限小转动是矢量

总位移： di+d标'=dnxr+d'×r 成 对第二次转动：产-→F+而”=”，”示”+而m d标"=d抗'xF=d dr"=dn×r"=di×(r+d") =dn×(产+d'×)=d抗×产=d 总位移：d"+d"=dn'×r+dn×r=d标'+d 由于线位移是对易的，故dF+d'=d'+d行 dn dn'dn'dn 可见：无限小转动是矢量

rndrndrdrdK K K K K K + ′ = × + ′ × 对第二次转动： rrdrr , nd +→ ′′ = ′′ ′ K K K K K rdrr nd ′′ → ′′ + ′′′ K K K K dr dn r dr ′′′ ′ = × = K KK K rdrndrndrnd rdrndrndrd KKKKKKK K K K K K K +×= ′ =×=× ′ ′ ′ = × ′ ′ = × + ′′ )( )( rdrdrndrndrdrdK K K K K K K K ′′ + ′ ′ ′ = ′ × + × = ′ + rdrdrdrdK K K K + ′ = ′ + ndndndndK K K K + ′ = ′ + 总位移： 总位移： 由于线位移是对易的, 故 可见：无限小转动是矢量

二角速度矢量 dn =ò 0= dt dt 'dr dnxr dr .v= =ō×下 dt 注意：而为整个刚体所共有，但)则只是刚体 内的某一点的

二.角速度矢量 ω K K = dt nd r dt rd v K K K K ∴ ω ×== rndrdK K K ∵ = × dt dθ ωω == K 注意： 为整个刚体所共有, 但 则只是刚体 内的某一点的. ω K v K

§3.欧勒角 0≤0≤π 0≤p≤2π0≤Ψ≤2π 一.欧勒角 Z15 316 作进动 Nx' 作章动 作自旋

ξ η ζ θ ϕ ϕθ x′ y′ o N y′′ z ′′ ξ η ζ θ ϕ ϕθ x′ y′ o N y′′ z ψ ψ x y x y z o ξ η ζ x′ y′ z o ξ η ζ N ϕ ϕ §3. 欧勒角 一 . 欧勒角 0 ≤ θ ≤ π ≤ ϕ ≤ 20 π ≤ ψ ≤ 20 π 作进动 作自旋 作章动

二.欧勒运动学方程 而=0i+0,j+0,k @=psin 0siny+Ocony @=sin Oconw-0sinw @.pcon 0+y -欧勒运动学方程

kji zyx K K K K ++= ωωωω x =  sinsin + conψθψθϕω y = sin con − sinψθψθϕω ω = ϕcon θ + ψ  z 二. 欧勒运动学方程 ξ η ζ θ ϕ ϕθ x′ y′ o N y′′ z ψ ψ x y -欧勒运动学方程

§4刚体运动方程与平衡方程 一、力系的简化 1力系 力系：作用于同一物体上的许多力称为力系。 力系有共点力系，平行力系，平面力系等。 2.力的可传性原理 对刚体有：F, A BF 三 6 F=-F, B 00 三1 三

§4 刚体运动方程与平衡方程 一、力系的简化 力系：作用于同一物体上的许多力称为力系。 力系有共点力系，平行力系，平面力系等。 2.力的可传性原理 对刚体有： A B ≡ A B F1K F2K 1 FF 2 K K −= A B F K ≡ ≡ A B FK F − K F K A B F K 1.力系

可见，作用在刚体上的力，沿着其作用线移动时不 会改变力的作用效果，故在刚体力学中，力是滑移矢 量.-力的可传性原理 由于作用于刚体上的力所产生的作用效果只取决 于力的大小、方向和作用线，而与力的作用点无关。 因此在刚体力学中，力的三要素可由大小、方向、作 用点改为大小、方向、作用线。 注意：作用于刚体上的力可沿作用线方向滑移，但 作用线的位置不能变动

由于作用于刚体上的力所产生的作用效果只取决 于力的大小、方向和作用线，而与力的作用点无关。 因此在刚体力学中，力的三要素可由大小、方向、作 用点改为大小、方向、作用线。 可见，作用在刚体上的力，沿着其作用线移动时不 会改变力的作用效果，故在刚体力学中，力是滑移矢 量 . -力的可传性原理 注意：作用于刚体上的力可沿作用线方向滑移，但 作用线的位置不能变动 . F K F K