同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 质点组力学 §2.3 动量矩定理与动量矩守恒律

第二章 质点组力学

第二章 质点组力学

§2.3动量矩定理与动量矩守恒律 导读 ·类比法 ·力矩、冲量矩、角动量 ·质点对固定点、固定轴的动量矩定理 ·动量矩守恒定律 ·对质心的动量矩定理 F→M P-5 →M- p→i dt dt

导 读 • 类比法 • 力矩、冲量矩、角动量 • 质点对固定点、固定轴的动量矩定理 • 动量矩守恒定律 • 对质心的动量矩定理 p L F M     → → t L M t p F d d d d     = → = §2.3 动量矩定理与动量矩守恒律

1对固定点O的动量矩定理 n个质点第i个质点满足： d'n=+F m dt 左矢乘下并对求和： -2G×9+2 i= 因为： 36×F0）=0

1 对固定点O的动量矩定理 ( ) ( ) 2 2 e i i i i i F F dt d r m    = + i r     = = =  =  +  n i e i i n i i i i n i i i i r F r F dt d r r m 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 ( ) ( ) ( )       左矢乘 并对i求和： n个质点 第 i 个质点满足： ( ) 0 1 ( )   = = n i i i Fi r 因为:   O x y z 1 r  i r  2 r  F1  F2  Fi 

m兽-2密xm岛立) d - 7=之6×FJ=G×m)-空G×p》 所以仍有： M- d.J dt

  = =   =  n i e i i n i i i i r F dt dr r m dt d 1 ( ) 1 ( ) ( )        = = =  =  +  n i i i i n i i i i n i i i i dt d r r m dt dr m dt dr dt dr r m dt d 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( )        dt dJ M   = ( ) ( ) ( ) = = = =  =  =  n i i i n i i i i n i e M ri Fi J r m v r p 1 1 1 ( ) ,         所以仍有:

质点组对固定点的动量矩定理： =M dt 意义：质点组对任一固定点的动量矩对时间的 微商等于诸外力对同一点的力矩的矢量和

质点组对固定点的动量矩定理： M dt dJ   = 意义：质点组对任一固定点的动量矩对时间的 微商等于诸外力对同一点的力矩的矢量和

分量式： 公m0空x) d)) 孟空网-芝

分量式： ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 e i i y n i e i i z n i mi yi zi zi yi y F z F dt d   = =  −  = − ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 e i i z n i e i i x n i mi zi xi xi zi z F x F dt d   = =  −  = − ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 e i i x n i e i i y n i mi xi yi yi xi x F y F dt d   = =  −  = −

2动量矩守恒 ·若M=0则j=c 意义：质点组不受外力作用时或虽受外力作用，但这 些对某定点的力矩的矢量和为0，则对此定点而言， 质点组动量矩为一横矢量 若对某一通过定点的定轴的力矩为0 M=0则J=∑my,-)-e 动量矩守恒定律是自然界的一条普遍定 律，它有着广泛的应用

2 动量矩守恒 意义：质点组不受外力作用时或虽受外力作用，但这 些对某定点的力矩的矢量和为0，则对此定点而言， 质点组动量矩为一横矢量. M = 0  J c   = Mx = 0 则 J m y z z y c n i x  i i i i i = = − = 1 (   ) • 若 则 若对某一通过定点的定轴的力矩为0 动量矩守恒定律是自然界的一条普遍定 律，它有着广泛的应用

3对质心的角动量定理： n个质点，P是任一质点，质量为m C是质心.坐标系O-xyz是固定系， 另有C-xy'z'系，原点在质心C,随C 相对于O-xyz平动.对运动参考系 d=e+f0+(-m) m

3 对质心的角动量定理 : n个质点, Pi是任一质点 ,质量为 m i , C是质心. 坐标系 O -xyz是固定系, 另有 C-x’y’z’ 系, 原点在质心 C, 随 C 相对于 O -xyz平动. 对运动参考系 x y z ri r Cri ’ Pi C O ( ) dd ' ( ) ( ) 2 2 i C i i e i i i F F m r tr m     = + + −

dm]-立立m ∑m,=0 m当]-之w 对质心的角动量定理： =M dt

   = = = =  +                n i C i i e i n i i n i i i i r F r m r t r r m t 1 ( ) 1 1 ' ' d d ' ' d d        ' 0 1  = = n i i i m r   ( ) 1 1 ' d d ' ' d d e i n i i n i i i i r F t r r m t       = = =                对质心的角动量定理: ' ' M dt dJ   =

d 对质心的角动量定理： =M 意义：质点组对质心c的动量矩对时间的微商 等于所有外力对质心的力矩之后 注意： 虽然质心是动点，但是角动量定理和对固定点形 式一样但是对其他任意动点由于不满足 ∑m,f'=0 则不能得出这样的角动量定理形式

对质心的角动量定理: 虽然质心是动点, 但是角动量定理和对固定点形 式一样.但是对其他任意动点由于不满足 则不能得出这样的角动量定理形式. ' 0 1  = = n i i i m r  ' ' M dt dJ   = 意义：质点组对质心c的动量矩对时间的微商 等于所有外力对质心的力矩之后. 注意：