《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第五章 大数定律与中心极限定理（5.1）大数定律

第五章大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 答复 1为何能以某事件发生的频率 作为该事件的概率的估计?大数 2为何能以样本均值作为总体定律 期望的估计? 3.为何正态分布在概率论中占 极其重要的地位 中心极 4大样本统讦推断的理论基础丫限定理 是什么?

第五章 大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 答复 大数 定律 中心极 限定理

§51大数定律 重要不等式 设非负rX的期望E(X)存在, 则对于任意实数E>0 P(X≥)s2() 证仅证连续型rⅴ的情形 P(X≥8)=/(x)x≤∫"(x)x <0*(xdx=E(x)

设非负 r.v. X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数  > 0,   ( ) ( ) E X P X   证 仅证连续型 r.v.的情形  +  =  P(X  ) f (x)dx  +    f x dx x ( )  +  0 ( ) 1 xf x dx   E(X ) = 重要不等式 §5.1 大数定律

推论1—马尔可夫( Markov)不等式 设随机变量x的阶绝对原点矩E(|X) 存在,则对于任意实数g>0, P(XPE)≤ ECX) 推论2—切贝雪夫( chebyshev)不等式 设随机变量X的方差D(X)存在, 则对于任意实数￡>0 P(X-E(X)e)<D(1)当E2≤DX) 2无实际意义, 或P(X-E(1)ka)≥1-2(

设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k ) 存在，则对于任意实数  > 0, k k E X P X   (| | ) (| | )  推论 1 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数  > 0, 2 ( ) (| ( )| )   D X P X − E X   推论 2 ——切贝雪夫( chebyshev)不等式 或 2 ( ) (| ( )| ) 1   D X P X − E X   − 当  2 D(X) 无实际意义, ——马尔可夫 ( Markov ) 不等式

例1设有一大批种子,其中良种占1/6.试 估计在任选的6000粒种子中,良种所占比 例与1/6比较上下小于1%的概率 解设X表示6000粒种子中的良种数, X~B(6000,1/6 5000 E(X)=1000D(X)= 6 X 1 <0.01 60006 5000 P(X-1000k60)≥1683 =0.7685 602108

例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )       −  0.01 6 1 6000 X P 6 5000 E(X ) =1000, D(X ) = = P(| X −1000 | 60) 2 60 6 5000 1− 0.7685 108 83 = =

实际精确计算 Ⅹ1 001|=P(940<X<1060) 60006 1059 k 6000-k k 6000 0.959036 k=941 6八(6 用 Poisson分布近似计算 取=1000 60006 001=P(940<X<1060) 91000/e 1000 0.937934 k=94 k!

实际精确计算  = P(940  X 1060)      −  0.01 6 1 6000 X P = −             = 1059 941 6000 6000 6 5 6 1 k k k k C = 0.959036 用Poisson 分布近似计算  = P(940  X 1060)      −  0.01 6 1 6000 X P  = 0.937934 = − = 1059 941 1000 ! 1000 k k k e 取 = 1000

例2设每次试验中,事件A发生的概率为 075,试用 Chebyshev不等式估计,n多大 时,才能在n次独立重复试验中,事件A出 现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90? 解设X表示n次独立重复试验中事件A 发生的次数,则 X~B(n,0.75 E(X)=0.75n,D(X)=0.1875n 要使 0.74< <076|≥090,求n

例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75) E(X) = 0.75 n, D(X) = 0.1875 n 0.74 0.76  0.90        n X 要使 P ，求 n

即P(0.74n<X<076n)≥090 即P(X-0.75k001n)≥090 由 Chebyshev不等式,E=0.01n,故 P(X-0.75m|<0.01m)≥1 0.1875n 令 (0.01n) 0.1875n 0.90 (0.01m) 解得n≥18750

即 P(0.74n  X  0.76n)  0.90 即 P(| X − 0.75n | 0.01n)  0.90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故 ( ) 2 (0.01 ) 0.1875 | 0.75 | 0.01 1 n n P X − n  n  − 令 0.90 (0.01 ) 0.1875 1 2 −  n n 解得 n 18750

大数定律 贝努里( Bernoulli)大数定律 设nA是n次独立重复试验中事件A发生 的次数,p是每次试验中A发生的概率,则 Va>o 有 lim P p≥E|=0 n→>00 12 或 lim P D<E=1

大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则   0 有 lim  = 0      −  → p  n n P A n 或 lim  =1      −  → p  n n P A n

证引入rV.序列{Xk} 1,第k次试验A发生 X k 0,第次试验A发生 设P(x4=1)=p则E(x)=p,D(Xx)=m x1,x2…,Xn相互独立,n1=∑X 记y=∑x,E(x)=,D(x) pg 由Ch hebyshev 不等式

证 引入 r.v. 序列{Xk}    = 第 次试验 发生 第 次试验 发生 k A k A Xk 0, 1, 设 P(X 1) p, k = = 则 E(Xk ) = p, D(Xk ) = pq X X X n , , , 1 2  相互独立， = = n k A Xk n 1 记 , 1 1 = = n k n Xk n Y n pq E(Y n ) = p, D(Y n ) = 由 Chebyshev 不等式

0<P P≥E ∑X PA-E(Xk)≥6 P(L-E(Y)2)≤ 1 pq 故liP n→

       − p   n n P A 0 故 lim  = 0      −  → p  n n P A n = ( − ( )   ) n n P Y E Y n pq   2 1              = −  = ( )  1 k n k k E X n X P