《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第四章 随机变量的数字特征 §4.1随机变量的数学期望

Ch4-1 第四章随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述随机变量的统 计特性,但实际应用中,有时并不需要知道 分布函数而只需知道随机变量的某些特征. 例如 判断棉花质量时,既看纤维的平均长度 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;

Ch4-1 第四章 随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述随机变量的统 计特性, 但实际应用中, 有时并不需要知道 分布函数而只需知道随机变量的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如：

Ch4 考察一射手的水平,既要看他的平均 环数是否高,还要看他弹着点的范围是否 小,即数据的波动是否小 由上面例子看到,与随机变量有关的 某些数值,虽不能完整地描述随机变量, 但能清晰地描述随机变量在某些方面的重 要特征,这些数字特征在理论和实践上都 具有重要意义

Ch4-2 考察一射手的水平, 既要看他的平均 环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否 小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的 某些数值，虽不能完整地描述随机变量， 但能清晰地描述随机变量在某些方面的重 要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都 具有重要意义

Ch4 随机变量某一方面的概率特性 都可用来描写 口rv的平均取值—数学期望 章口r取值平均偏离平均值的情况 内 方差 口描述两个rv之间的某种关系的 数—协方差与相关系数

Ch4-3 ❑ r.v.的平均取值 —— 数学期望 ❑ r.v.取值平均偏离平均值的情况 —— 方差 ❑ 描述两个 r.v.之间的某种关系的 数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写

Ch4-4 §41随机变量的数学期望 引例学生甲乙参加数学竞赛观察其胜负 初复决 成算术加权平均 赛赛赛绩平均34135226 甲9085532287673.7K700668 乙880572257573.270.167.8 胜者甲甲乙甲甲甲乙乙

Ch4-4 §4.1随机变量的数学期望 初 加 权 平 均 赛 复 赛 决 赛 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负

Ch4 称 ∑x=90×0.2+85×03+53×0.5 70.0 为这3个数字的加权平均 数学期望的概念源于此

Ch4-5 = 70.0 为这 3 个数字的加权平均 90 0.2 85 0.3 53 0.5 3 1  =  +  +  i= i i x p 称 数学期望的概念源于此

Ch4-6 数学期望的定义 设X为离散rv.其分布为 P(X=x1)=Pk,k=1,2, 若无穷级数∑xkPk绝对收敛,则称 其和为X的数学期望记作E(X),即 E(X)=∑xPk

Ch4-6 设 X 为离散 r.v. 其分布为 P(X = xk ) = pk , k =1,2,  若无穷级数  + k=1 k pk x 其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即  + = = 1 ( ) k k k E X x p 数学期望的定义 绝对收敛, 则称

Ch4 定义设连续rwX的df为 若广义积分 af(x)dx 绝对收敛,则称此积分为ⅹ的数学期望 记作E(X,即 ++oO E(X)= xf(x)dx 数学期望的本质—加权平均 它是一个数不再是r.v

Ch4-7 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x) 若广义积分  + − xf (x)dx 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即  + − E(X ) = xf (x)dx 数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是 r.v. 定义

Ch4-8 例1X~B(n,p),求E(X) 解E(X)=∑kCp(1-p)k k=0 (k-1)(n-)P(1-D)(n1)(k-) np (n-1) 2∑Cn1p(1-p)n=mp 特例若Y~B(1,P),则E(Y=p

Ch4-8 例1 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 = − = − n k k k n k n E X kC p p 0 ( ) (1 ) = − − − − − − − − = n k k n k p p k n k n np 1 1 ( 1) ( 1) (1 ) ( 1)!( )! ( 1)!  − = − − = − − 1 0 ( 1) 1 (1 ) n k k k n k n np C p p = np 特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) = p

Ch4-9 例2X~N(p,a2),求E(X) 解E(X)=x 已 2 20 x-p +oO (+1),-=e2dh 2丌 例3设X~参数为p的几何分布,求E(X 解(x)=4-p+=(∑k x=l-p k P P x=1-p

Ch4-9 例2 X ~ N (  ,  2 ), 求 E ( X ) . 解 E X x e dx x 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    − + − − =  u e du u u x 2 2 2 + 1 − − = −  = +       （ ） 令 =  例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解  + = − = − 1 1 ( ) (1 ) k k E X kp p k x p k p kx = − + = −       =  1 1 1 x p k k p x = − + =       =  1 ' 1 x p p x p 1 (1 ) 1 1 2 = − = = −

Ch4-10 常见rv的数学期望(P159) 分布 概率分布 期望 参数为的P(X=1)=P 0-1分布 P(X=0)=1-p P(X=k)=CkP*(I-p-kl B(n,p k=0,2,…,n ap P() P(X=k= k k=0.1.2

Ch4-10 常见 r.v. 的数学期望（P159） 分布 概率分布 期望 参数为p 的 0-1分布 P X p P X p = = − = = ( 0) 1 ( 1) p B(n,p) k n P X k C p p k k n k n 0,1,2, , ( ) (1 ) =  = = − − np P() 0,1,2, ! ( ) = = = − k k e P X k k   