《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第五章 大数定律与中心极限定理（5.2）中心极限定理

Ch5-21 552中心极限定理 定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列X,X2…X 独立同—分布,且有期望和方差 E(XA)=4,D(HA)=a2>0,k=1,2 则对于任意实数x SXL-nA k=1 e 2 dt n→>00 2丌

Ch5-21 §5.2 中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 X1 , X2 ,  , X n ,  独立同一分布, 且有期望和方差： E(Xk ) =  , D(Xk ) = 2  0 , k =1,2,  则对于任意实数 x ,   − − = → =              − x t n k k n x e dt n X n P 1 2 2 2 1 lim    定理1

n5-22 ∑Xk-n 注记y= no 则Yn为∑ⅹk的标准化随机变量 limP(Zn≤x)=φ(x) n→>00 即n足够大时,Yn的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数 Y N(O, 1) ∑X=√mo以+n4近似服从N(n1nmo2)

Ch5-22 注 则 Y n 为 = n k Xk 1 的标准化随机变量. limP(Y x) (x) n n  = → 即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数   n X n Y n k k n − =  记 =1 Y ~ N(0,1) n 近似 = n k Xk 1 = nY n + n ( , ) 2 近似服从N n n

Ch5-23 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响,而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 (即这些因素的叠加)的结果 若联系于此随机现象的随机变量为X 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素的总和∑X,而这个总和服从 或近似服从正态分布

Ch5-23 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X ， 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 则它可被看成为许多相互独立的起微小作  k 用的因素X Xk k的总和 ，而这个总和服从 或近似服从正态分布. (即这些因素的叠加)的结果

n5-24 对此现象还 可举个有趣 的例子 高尔顿钉板 试验—加 以说明 N(0,√n) n—钉子层数 o blo olo 0 3

Ch5 -24 对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明 . − 3 0 3 • • • • • •••• N (0, n ) n — 钉子层数

Ch5-25 定理2德莫佛拉普拉斯中心极限定理 ( DeMoivre-Laplace 设Yn~B(n,p),0O np(I-p) 2丌 即对任意的a<b, Y b lim pl a< np <6 e 2 dt np(1-p) √2 Yn~N(mp,mp(1-p)(近似)

Ch5-25 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,… 则对任一实数 x，有 − − →  =       − − x t n n x e dt np p Y np P 2 2 2 1 (1 ) lim  即对任意的 a < b,  − →  =       − −  b a t n n b e dt np p Y np P a 2 2 2 1 (1 ) lim  Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似) 定理2

Ch5-26 中心极限定理的应周 例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学 期望为2,均方差为1.5.若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的,求100次轰击 (1)至少命中180发炮弹的概率; (2)命中的炮弹数不到200发的概率

Ch5-26 例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率

Ch5-29 例2售报员在报摊上卖报,已知每个过路 人在报摊上买报的概率为13.令X是出售 了100份报时过路人的数目,求 P(280≤X≤320) 解令X为售出了第i-1份报纸后到售出 第份报纸时的过路人数,i=1,2,,100 P(X1=k)=p(1-p p=1/3 k=1,2, (几何分布) E(X) 3,D(x1) 1-p 6 p=1/3

Ch5-29 例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280  X  320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100 ( ) (1 ) 1/3 , 1,2,  1 = = − = = − P X k p p k p k i (几何分布) 6 1 3, ( ) 1 ( ) 1/3 2 1/3 = − = = = = p= i p i p p D X p E X

100 Ch5-30 100 相互独立,X=∑Xk E(X)=300,D(X)=600 由独立同分布中心极限定理,有 X~N(300,600)(近似) 320-300 280-300 P(280≤X≤320)x 600 600 20 ≈2c 0201-1≈20(08165)-1≈0.5878 600

Ch5-30 = = 100 k 1 1 2 100 X Xk X , X ,  , X 相互独立, E(X) = 300, D(X) = 600 X ~ N(300,600) (近似)       −  −      −    600 280 300 600 320 300 P(280 X 320)   1 600 20 2  −         2(0.8165)−1 0.5878 由独立同分布中心极限定理, 有

例3检验员逐个检查某产品每查一个需 用10秒钟.但有的产品需重复检查一次 再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率 为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解若在8小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于8小时 设X为检查1900个产品所用的时间(秒 设X为检查第k个产品所用的时间 (单位:秒),k=1,2,,1900

Ch5-31 例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间 (单位：秒), k = 1,2,…,1900

Ch5-32 k 10 20 P 0.5 0.5 E(Xk)=15,D(X)=25 X1,X2,…X100相互独立同分布,X=∑Xk E(X)=1900×15=28500 D(X)=1900×25=47500 近似 X~N(28500,47500

Ch5-32 Xk P 10 20 0.5 0.5 E(Xk ) =15, D(Xk ) = 25 = = 1900 k 1 1 2 1900 X Xk X , X ,  , X 相互独立同分布, ( ) 1900 25 47500 ( ) 1900 15 28500 =  = =  = D X E X X ~ N(28500,47500) 近似