《蒙特卡罗方法》第三章 由已知分布的随机抽样

第三章由已知分布的随机抽样 1.随机抽样及其特点 2.直接抽样方法 3.挑选抽样方法 4.复合抽样方法 5.复合挑选抽样方法 6.替换抽样方法 7.随机抽样的一般方法 8.随机抽样的其它方法 >作业

第三章 由已知分布的随机抽样 1. 随机抽样及其特点 2. 直接抽样方法 3. 挑选抽样方法 4. 复合抽样方法 5. 复合挑选抽样方法 6. 替换抽样方法 7. 随机抽样的一般方法 8. 随机抽样的其它方法 ➢ 作 业

第三章由已知分布的随机抽样 本章叙述由己知分布抽样的各主要方法,并给出 在粒子输运问题中经常用到的具体实例

第三章 由已知分布的随机抽样 本章叙述由己知分布抽样的各主要方法，并给出 在粒子输运问题中经常用到的具体实例

1.随机抽样及其特点 由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体 中抽取简单子样。随机数序列是由单位均匀分布的总 体中抽取的简单子样,属于一种特殊的由已知分布的 随机抽样问题。本章所叙述的由任意已知分布中抽取 简单子样,是在假设随机数为已知量的前提下,使用 严格的数学方法产生的。 为方便起见,用X表示由己知分布(x)中产生的 简单子样的个体。对于连续型分布,常用分布密度函 数(x)表示总体的己知分布,用X表示由己知分布密度 函数(x)产生的简单子样的个体。另外,在抽样过程中 用到的伪随机数均称随机数

1. 随机抽样及其特点 由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体 中抽取简单子样。随机数序列是由单位均匀分布的总 体中抽取的简单子样，属于一种特殊的由已知分布的 随机抽样问题。本章所叙述的由任意已知分布中抽取 简单子样，是在假设随机数为已知量的前提下，使用 严格的数学方法产生的。 为方便起见，用XF表示由己知分布F(x)中产生的 简单子样的个体。对于连续型分布，常用分布密度函 数f(x)表示总体的己知分布，用Xf表示由己知分布密度 函数f(x)产生的简单子样的个体。另外，在抽样过程中 用到的伪随机数均称随机数

2.直接抽样方法 对于任意给定的分布函数F(x),直接抽样方法如 X= inf t 1.2.…….N F(t)≥5 其中,51,52,…”,为随机数序列。为方便起见, 将上式简化为: F F(t)≥5 若不加特殊说明,今后将总用这种类似的简化形 式表示,ξ总表示随机数

2. 直接抽样方法 对于任意给定的分布函数F(x)，直接抽样方法如 下： 其中，ξ1，ξ2，…，ξN为随机数序列。为方便起见， 将上式简化为： 若不加特殊说明，今后将总用这种类似的简化形 式表示，ξ总表示随机数。 X t n N n F t n inf , 1,2, , ( ) = =   X t F t F  = ( ) inf

证明 下面证明用前面介绍的方法所确定的随机变量序 列X,H2,…,X具有相同分布F(x) Fx(x)=p(X<x)=p( inf t<x) F(1)≥5 P(S<F(x)=F(x) 对于任意的m成立,因此随机变量序列X,X2,…, X具有相同分布F(x)。另外,由于随机数序列31, ,∵…,是相互独立的,而直接抽样公式所确定的函 数是波雷尔(B)可测的,因此,由它所确定的x, X2,…,X是相互独立的( IPRHalmos, Measure theory, N.Y Von nosrtand,1950]§45定理2)

➢ 证明 下面证明用前面介绍的方法所确定的随机变量序 列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。 对于任意的n成立，因此随机变量序列X1，X2，…， XN具有相同分布F(x)。另外，由于随机数序列ξ1， ξ2，…，ξN是相互独立的，而直接抽样公式所确定的函 数是波雷尔（Borel）可测的，因此，由它所确定的X1， X2，…，XN也是相互独立的（[P.R.Halmos, Measure theory, N.Y.Von Nosrtand,1950]§45定理2）。 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( inf ) ( ) P F x F x F x P X x P t x n F t X n n n =  = =  =    

1)离散型分布的直接抽样方法 对于任意离散型分布: F(x)=∑P X<x 其中x1,x2,为离散型分布函数的跳跃点,P 为相应的概率,根据前述直接抽样法,有离散 型分布的直接抽样方法如下: F ∑P<5≤∑ 该结果表明,为了实现由任意离散型分布的随机 抽样,直接抽样方法是非常理想的

1) 离散型分布的直接抽样方法 对于任意离散型分布： 其中x1，x2，…为离散型分布函数的跳跃点，P1， P2，…为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散 型分布的直接抽样方法如下： 该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机 抽样，直接抽样方法是非常理想的。   = x x i i F(x) P =     I i 1 i I 1 i 1 , Pi P ＝ － ＝ XF xI 当 

例1.二项分布的抽样 二项分布为离散型分布,其概率函数为: P(x=n) CNP (1-P) 其中,P为概率。对该分布的直接抽样方法如下 ∑P<5≤∑P

例1. 二项分布的抽样 二项分布为离散型分布，其概率函数为： 其中，P为概率。对该分布的直接抽样方法如下： n n N n P x n Pn CN P P − ( = ) = = (1− ) =     n i 0 i n 1 i 0 , Pi P ＝ － ＝ XF n 当 

例2.泊松( Possion)分布的抽样 泊松( Possion)分布为离散型分布,其概率函数为 P(x=n)=P 其中,λ>0。对该分布的直接抽样方法如下 当∑<5e≤∑

例2. 泊松(Possion)分布的抽样 泊松(Possion)分布为离散型分布，其概率函数为： 其中，λ>0 。对该分布的直接抽样方法如下： ! ( ) n P x n P e n n −  = = = =     n i 0 n 1 i i 0 i i! i! , ＝ － ＝ 当     X n e F

例3.掷骰子点数的抽样 掷骰子点数X=n的概率为 P(X=n) 选取随机数ξ,如 <2≤ 贝 在等概率的情况下,可使用如下更简单的方法: XF=[6·9]+1 其中[]表示取整数

例3. 掷骰子点数的抽样 掷骰子点数X=n的概率为： 选取随机数ξ，如 则 在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法： 其中［］表示取整数。 6 1 P(X = n) = 6 6 n 1 n   −  XF = n XF = [6]+1

例4.碰撞核种类的确定 中子或光子在介质中发生碰撞时,如介质是由多 种元素组成,需要确定碰撞核的种类。假定介质中每 光子与每种核碰撞的械率分:…,2,则中子或 种核的宏观总截面分别为∑,∑ i=12.…n 其中∑=∑十∑2+…+∑。碰撞核种类的确定方法为: 生二个随机数,如果 ∑P1<5≤∑ 则中子或光子与第/种核发生碰撞

例4. 碰撞核种类的确定 中子或光子在介质中发生碰撞时，如介质是由多 种元素组成，需要确定碰撞核的种类。假定介质中每 种核的宏观总截面分别为Σ1，Σ2，…，Σn，则中子或 光子与每种核碰撞的概率分别为： 其中Σt ＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核种类的确定方法为： 产生一个随机数ξ，如果 则中子或光子与第I种核发生碰撞。 P i n t i i = 1,2,,   =     I i 1 i I 1 i 1 Pi P ＝ － ＝ 