《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第七章 参数估计 §7.1 点估计方法

第七章 余数计

第七章 7-1

7-2 参数估 点估评 统计 推断 计问题 区间估计 DE 基本 问题 假设检 验问题

参数估 计问题 假设检 验问题 点 估 计 区间估 计 统计 推断 DE 基本 问题 7 - 2

什么是参数估计? 参数是刻画总体某方面概率特性的数量 当此数量未知时,从总体抽出一个样本, 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计 例如,X~N(,a2, 若σ2未知,通过构造样本的函数,给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容 点估计区间估计

什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计. 例如，X ~N ( , 2 ), 点估计 区间估计 若,  2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容

参数估计的类型 点估计—估计未知参数的值 区间估计 估计未知参数的取值范围 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值

参数估计的类型 点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值

7-5 571点估计方法 点估计的思想方法 设总体X的分布函数的形式已知,但含有 个或多个未知参数:B,2,…,O 设X,X2,…,X为总体的一个样本 构造k个统计量 (X1,X2…,Xn) a(x,x2…X)随机变量 e(x12X2,…,Xn)

§7.1 点估计方法 点估计的思想方法 设总体X 的分布函数的形式已知, 但含有 一个或多个未知参数：1 ,2 , ,k 设 X1 , X2 ,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 2 1 1 2 k n n n X X X X X X X X X        随机变量 7-5

7-6 当测得样本值(x1,x2,…,x)代入上述 统计量,即可得到k个数 e1( 2(x1,x2…,x) 数值 , 称数a…O为未知参数,…,的估计值 对应统计量为未知参数…,0的估计量 问∫「如何构造统计量? 题如何评价估计量的好坏?

当测得样本值(x1 , x2 ,…, xn )时,代入上述 统计量，即可得到 k 个数： ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ 1 2 2 1 2 1 1 2 k n n n x x x x x x x x x        数 值 称数 1 ˆ ,   k 为未知参数 1 , ,   k 的估计值 如何构造统计量？ 如何评价估计量的好坏？ 7-6 对应统计量 为未知参数   1 , , k 的估计量 问 题

7-7 三种常用的点估计方法 口频率替换法 利用事件A在n次试验中发生的频率 n4/n作为事件A发生的概率p的估计量

三种常用的点估计方法 ❑ 频率替换法 利用事件A 在 n 次试验中发生的频率 / A n n 作为事件A 发生的概率 p 的估计量 p n nA ⎯p → 7-7

7-8 例1设总体X~N(,2),在对其作28次 独立观察中,事件“X<4”出现了21次,试 用频率替换法求参数μ的估计值. 解由P(X<4)=Φ 4-、21 )≈=0.75 228 查表得 μ=0 675 于是的估计值为A≈3045

例1 设总体X ~ N (  , 2 ), 在对其作28 次 独立观察中, 事件 “X < 4” 出现了21 次, 试 用频率替换法求参数  的估计值. 解 由 0.75 28 21 ) 2 4 ( 4) (  = −  =   P X 0.675 2 4 = −  查表得 于是  的估计值为    3.045 7-8

口矩法 用样本k阶矩作为总体k阶矩的 方法估计量,建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数 一般,不论总体服从什么分布,总体期望4 与方差σ2存在,则它们的矩估计量分别为 X.=Ⅹ ∑(x1-x)=s

方法 用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的 估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数 7-9 一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望  与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为 1 1 ˆ n i i X X n  = = =  2 1 2 2 ( ) 1 ˆ n n i i X X S n =  − = =  ❑ 矩法

7-10 事实上,按矩法原理,令 X=∑X= 71 A=∑X=E(X2) l= X E(X -E(X=A, r2X-X=2(cX-1)=s

7 -10 事实上，按矩法原理，令 =  =  =ni Xi n X 1 1 ( ) 1 2 1 2 2 X E X n A n i =  i = = ˆ = X   ˆ = ( )− ( ) 2 2 2  E X E X 2 2 = A − ˆ 2 2 1 1 n i i X X n = = −  2 1 2 ( ) 1 n n i i X X S n =  − = =