《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 可测函数（4.4）微分与不定积分 有界变差函数

实变函数 第四节微分与不定积分 4.4有界变差函数 且的:进一步了解单调函数的性质,熟悉 有界变差函数的定义,掌握其性质 重点与难点:单调函数的性质,有界变差 函数的定义及其性质

目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉 有界变差函数的定义，掌握其性质。 重点与难点：单调函数的性质，有界变差 函数的定义及其性质。 4.4 有界变差函数 第四节 微分与不定积分

第四节有界变差函数 基本内容: 单调函数可导性的推论 问题1:如果/是单调函数序列,且 ∑/→fae,不难看出是单调 的,从而也几乎处处有有限导数 f的导数与f的导数有什么关系? 等式 ∑fn=fae 是否成立?

第四节 有界变差函数 基本内容： 一．单调函数可导性的推论 问题1：如果 f n是单调函数序列，且 ，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， f n的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 是否成立？ f f a.e.  n → f ' f ' a.e.  n =

第四节有界变差函数 (1) Fubini定理 问题2:跳跃函数的导数是什么? 推论1( Fubini)设{/n}是a,b]上的 单调增加有限函数序列,且∑/在 n- a,b]上处处收敛到有限函数了,则 =∑f'ae[a,bl

第四节 有界变差函数 (1) Fubini定理 问题2：跳跃函数的导数是什么？ 推论1(Fubini) 设 是 上的 单调增加有限函数序列，且 在 上处处收敛到有限函数 f ，则 。 { }n f   n=1 n f = n n f ' f 'a.e.[a,b] [a,b] [a,b]

第四节有界变差函数 证明:不妨设f(a)=0,(n=1,2),否 则可令(x)=(x)-f(),对G讨 论就行了。记 x)=∑f(x) 则Sn(x,f(x)都是单调增加函数,故去 掉一个琴测集E后,F(x)(n=1,2,…) 都存在

证明：不妨设 ，否 则可令 ，对 讨 论就行了。记 ， 则 都是单调增加函数，故去 掉一个零测集 E 后， 都存在。 f (a) = 0,(n =1,2, ) n ( ) ( ) ( ) ~ f n x = f n x − f n a n f ~ = = n i n i S x f x 1 ( ) ( ) S (x), f (x) n n ( )( 1,2, ) Fn ' x n =  第四节 有界变差函数

第四节有界变差函数 因S,(x)-Sn1(x)=f(x)及f(x)-Sn(x) 单调增加,故其导数均非负,从而当 x还E时,S"n1(x)≤Sn(x)≤f(x) 由此得,级数 ∑f"n(x)=lin m n→>0 几乎处处收敛。往证 ∑f"n(x)=∫(x

因 及 单调增加，故其导数均非负，从而当 时， 。 由此得，级数 几乎处处收敛。往证 。 ( ) ( ) ( ) 1 S x S x f x n − n− = n f (x) S (x) − n xE ' ( ) ' ( ) '( ) 1 S x S x f x n−  n    = → = 1 ' ( ) lim ' ( ) n n n n f x S x   = = 1 ' ( ) '( ) n n f x f x 第四节 有界变差函数

第四节有界变差函数 由于lmSn(b)=f(b),对任意自然数k, 可取n,使得 f(b)-S(b)< 但f(x)-Sn(x)也是单调增加函数,且 f(a)=Sn(a)=O,所以, 0∑(x)-()5刚团1 k=1 k=1

由于 ，对任意自然数 k， 可取 ，使得 ， 但 也是单调增加函数，且 ，所以, lim S (b) f (b) n n = → nk n k f b S b k 2 1 ( ) − ( )  f (x) S (x) nk − f (a) = S (a) = 0 nk 1. 2 1 0 { ( ) ( )} { ( ) ( )} 1 1 1     =  =  =  −  −  = k k k n k n f x S x f b S b k k 第四节 有界变差函数

第四节有界变差函数 这说明∑{(x)-S(x)}也是由单调 增加函数列f(x)-Sn(x)构成的收敛 级数,将上面关于∑f(x)的结论用 到∑f(x)-S2(x)上,得 k=1 ∑{/(x)-S"(x)}<ae k=1

这说明 也是由单调 增加函数列 构成的收敛 级数，将上面关于 的结论用 到 上，得   = − 1 { ( ) ( )} k n f x S x k f (x) S (x) nk −   =1 ( ) k n f x   = − 1 { ( ) ( )} k n f x S x k { '( ) ' ( )} . . 1 f x S x a e k nk  −    = 第四节 有界变差函数

第四节有界变差函数 进而,级数的通项趋于0,即 lm(f(x)Smn (x)=0a.e, k 也 ∑fn(x)=f(x)aea,b 1=」 证毕

进而，级数的通项趋于0，即 ， 也即 。 证毕。 lim ( f '(x) S' (x)) 0 a.e. k n k − = → ' ( ) '( ) . .[ , ] 1 f x f x a e a b n  n =  = 第四节 有界变差函数

第四节有界变差函数 推论2若是[a,b上跳跃函数,则 =0 a.e.o 证明:设=0-02,0,2是[an,b]上的 单调增加函数,注意对任意xn∈(an,b), 6(rxn=0a.e, 01(x-xn=0a.e, 由推论1立得证明

证明：设 是 上的 单调增加函数，注意对任意 ， ， 由推论1立得证明。 推论2 若 是 上跳跃函数，则 。  ' = 0 a.e. 1 2 1 2  = − , , x (a,b) n  '( ) 0 . ., ' ( ) 0 . . 1 x x a e x x a e  − n =  − n = [a,b] [a,b] 第四节 有界变差函数

第四节有界变差函数 二.单调函数导数的可积性 问题3:从跳跃函数的导数几乎处处 为零可以看出,单调函数的导数未 必满足 Newton- Leibniz公式,考虑 更弱的问题:单调函数的导数是否 R可积?是否L可积?其导函数的 积分与该函数有没有什么关系?

第四节 有界变差函数 二．单调函数导数的可积性 问题3：从跳跃函数的导数几乎处处 为零可以看出，单调函数的导数未 必满足Newton-Leibniz公式，考虑 更弱的问题：单调函数的导数是否 R-可积？是否L-可积？其导函数的 积分与该函数有没有什么关系？