《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 测度理论（3.2）可测集合

实变函数 第三章测度理论 第二节可测集合

第二节 可测集合 第三章 测度理论

Lebesgue外测度(外包 mE=nf{∑||:E0开区间列,使得EcM1且mEs∑1|mE+ i=1 即:用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使An两两不交) m(,A,)≤∑mA

Lebesgue外测度(外包) n n n n m A m A * 1 1 * ( )   =  =   次可数可加性(即使Ａn两两不交) inf{ | |: } 1 1 i i 且 i 为开区间 i i m E I E I I  =  =  =    即：用一开区间列“近似”替换集合E        +   =  = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |

1可测集的定义 若vTcR",有m7=m(⌒E)+m(T∩E ( Caratheodory条件),则称E为 Lebesgue可测集 此时E的外测度称为E的测度,记作mE E T∩E|T∩Ec 注: Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测 但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法

1.可测集的定义 注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集， 但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。 E E c T∩E T∩Ec , n 若T  R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有   mE （Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作

例:零集E必为可测集 证明:TcRn 有m7T≤m(TE)+m(TE) ≤m(E)+m(T)≤m(T) 从而mT=m(T∩E)+m(TE 即E为可测集。 NTcR,有m7=m(T⌒E)+m(T⌒E)

例：零集E必为可测集 * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c m T m T E m T E m E m T m T      +   +  有 n 证明：T  R * ( ) ( )c m T m T E m T E   从而 =  +  即E为可测集。 , ( ) ( ) n * c T  R m T = m T E + m T E 有  

2. Lebesgue可测集的性质 a)集合E可测(即7cR",有m=m(TE)+m(T∩E) ≌→MAcE,BcE,有m(A∪B)=m(4)+m(B) 证明:(充分性) VCR 令A=T∩E,B=T∩E即可 (必要性)令T=A∪B

2.Lebesgue可测集的性质 证明：(充分性） n T  R 令A = T  E,B = T  E c 即可 (必要性)令 T = A B  A  E,B  E c ,有 ( ) ( ) ( ) * m A B = m A + m B   , ( ) ( ) n * c T  R m T = m T E + m T E （ 有   a）集合E可测（即 ）

(b)若A,B,A1可测,则下述集合也可测 A AUB,AnB,A-B,0A,UA 即可测集类关于差,余,有限交和可数交 有限并和可数并,以及极限运算封闭 若A∩B=①,则∨TcR 有m(7⌒(A∪B)=m(T⌒A)+m(T⌒B) 注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得

即可测集类关于差，余，有限交和可数交， 有限并和可数并，以及极限运算封闭； 1 1 , , , , , c i i i i A A B A B A B A A   = =   −   （b）若A,B,Ai 可测，则下述集合也可测 n 若A B T R  =    ，则 * m T A B m T A m T B ( ( )) ( ) ( )   有   =  +  注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得

可测集类关于差,余,有限交和可数交, 有限并和可数并,以及极限运算封闭 若A两两不交,则(测度的司可加性) 7(、A1) 2∠ 1 若AB可测,AcB,m4<+O 则有可减性m(B-A)=mB-mA

若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性）   =  =  = 1 1 ( ) i i i i m A m A 若 A,B可测， 则有可减性 A  B,mA +, m(B − A) = mB− mA 可测集类关于差，余，有限交和可数交， 有限并和可数并，以及极限运算封闭；

证明:由可测集的定义:VTcR 有mT=m(TE)+m(TaE) 易知A可测 若A∪B可测已证明,则易知 若当A为两两不交时 A∩B=(A∪B ∪A可测已证明,则通 A-B=AOB 过令Bn=An-∪A1 也可测。 把一般情形转化为两 两不交情形;通过取 余即可证明⌒A可测

也可测。 若 A B 可测已证明，则易知 c c c A B = (A  B ) c A− B = AB n T  R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有   易知Ac可测 证明：由可测集的定义： 余即可证明 可测 两不交情形 通过取 把一般情形转化为两 过令 可 可测已证明 则通 若当 为两两不交时 i n i i n i n n i i i A B A A A A 1 1 1 1 ; , , = − =  =  = −  

B 下面证明若AB可测 A 则团A∪B可测 (3) 证明: TCR 有mT≤m(T∩(AUB)+m(T(AUB)) ≤(m(1)+m(2)+(m(3)+m(4) m(1)∪(2)+m(3)(4)(B可测) =m(1)(2)∪(3)(4)(4可测) =m(T) 从而mT=m(T(AB)+m(T(AB))

* * * *** ( ( )) ( ( ) ) ( (1) (2)) ( (3) (4)) ((1) (2)) ((3) (4)) ( ) ((1) (2) (3) (4)) ( ) ( ) c m T m T A B m T A B m m m m m m B m A m T         +    + + + =  +  =    = 有 可 测 可 测 * ( ( )) ( ( ) )c m T m T A B m T A B   从 而 =   +   n 证明：  T  R (1) (2) (3) (4) Ｔ B A A B  下面证明若A,B 可测， 则 可测

下面证明若A两两不交,则m4)=∑m4 证明:TcR",有 m7=m(T(4)+m(⌒(4))从而4可测 2m(C4)+m((4)并用7=A代 xm(A)+m(7(4))入(*)式, 从而mT≥∑m(4)+m((u4)()即得结论 ≥m(T∩(A)+m(∩(A)) i=1 另外显然有mT≤m(⌒(A)+m(T(A) 从而mT=m(T(A1))+m(T(A)°

( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) 1 * 1 1 * 1 1 * 1 c i i n i i c i i i n i c i n i i n i m T A m T A m T A m T A m T m T A m T A  = =   = =  = =   =  +      +   =   +    ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (*) 1 * 1 1 * 1 c i i i i c i i i i m T A m T A m T m T A m T A  =  =   =   =     +   从而    +   ( ( )) ( ( ) ) 1 * 1 c i i i i m T m T A m T A  =  =   另外显然有    +   证明：T  R n ，有( ( )) ( ( ) ) 1 * 1 c i i i i m T m T A m T A  =  = 从而  =    +   即得结论 入（ ）式， 并用 代 从而 可测 * , 1 1 i i i i T A A  =  = =     =  =  = 1 1 ( ) i i i i 下面证明若A m A mA i 两两不交，则