湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第三章 随机向量及分布（3.7）随机向量函数的分布

第三章第七节 随机向量菡数的分布

第三章第七节 随机向量函数的分布

在第二章中,我们讨论了 维随机变量函数的分布,现在我 们进一步讨论: 当随机变量X,X2…,Xn的联合分布 已知时,如何求出它们的函数 Y:=9:(X1,X 2 n/9 i=12,.0n 的联合分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题,然后将其推广到多个随机变量的情形

在第二章中，我们讨论了一 维随机变量函数的分布，现在我 们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X1 , X2 , …,Xn的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Yi =gi (X1 , X2 , …,Xn ), i=1,2,…,m 的联合分布?

、离散型分布的情形 例1若X、Y独立,P(X=k)=a,k=0,1,2 ●●● P(F=k)=b,k=0,1,2,…,求z=x+Y的概率函数 解:P(Z=r)=P(X+Y=r 由独立 ∑P(X=iY=r-1)性 此即离散型 卷积公式 ∑P(X=iP(Y=r-) i=0 =0bn+a1bn-1+…+abor=0,1,2

一、离散型分布的情形 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解: P(Z = r) = P(X +Y = r) = = = = − r i P X i P Y r i 0 ( ) ( ) =a0br +a1br-1+…+arb0 = = = = − r i P X i Y r i 0 ( , ) 由独立 性 此即离散型 卷积公式 r=0,1,2, …

例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 λ1,2的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为 1+2的泊松分布 解:依题意 P(X=i) i=0,1,2, P(r=j) 产=0,1,2, 由卷积公式 P(Z=)=∑P(X=iY=r-) i=0

解：依题意 = = = = = − r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1 ,2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 + 2 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… ! ( ) i e P X i i 1 1  − = = ! ( ) j e P Y j j 2 2  − = =

由卷积公式 P(Z=r)=∑P(X=iy=r-i) e e (r-1)! (41+12) oi! (r 1+2) (4+2),r=0,1 即Z服从参数为气+2的泊松分布

= = = = = − r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 由卷积公式 = =  r i 0 r-i - 2 i - 1 (r -i)! e i! e 1 2     = − + = r r i e 0 r-i 2 i 1 ( ) i!(r -i)! r! ! 1 2     ( ) , ! 1 2 ( ) 1 2 r r e     = + − + 即Z服从参数为 1 + 2 的泊松分布. r =0,1，…

、连续型分布的情形 设X和Y的联合密度为f(xy),求Z=X+Y的 密度 解:Z=X+Y的分布函数是: y Fz(x=P(≤z)=P(X+Y≤x x+y=z D 这里积分区域D={(x,y):x+ys 是直线x+=z左下方的半平面

设X和Y的联合密度为f (x,y), 求Z=X+Y的 密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ (z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)  = D f (x, y)dxdy 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 二、连续型分布的情形

Fz(x)=‖f(x,y)dxdy y +y=z 化成累次积分,得 F2(x) f(x, y)dx dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换 =L-y, 得 变量代换 F7(z f(u-y, ydujdy 交换积分次序 f(u-y, ydyldu

化成累次积分,得  +  = x y z FZ (z) f (x, y)dxdy    − − − = z y FZ (z) [ f (x, y)dx]dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得    − − = − z FZ (z) [ f (u y, y)du]dy −   − = − z [ f (u y, y)dy]du 变量代换 交换积分次序

F2(=If(u-y, y)dyldu 由概率密度与分布函数的关系,即得z=X+Y 的概率密度为: f2(3)=F2(3)= f(z-y,y)dy 由X和Y的对称性,/z(z)又可写成 f(z)=Fz(3)= f(x,z-x)dx 以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式

由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成   − f z = F z = f z − y y dy Z Z ( ) ( ) ( , ) ' 以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式.   − f Z (z) = FZ (z) = f (x,z − x)dx ' −   − = − z FZ (z) [ f (u y, y)dy]du

特别,当X和Y独立,设X,Y关于XY的边缘 密度分别为f(x),f),则上述两式化为: f(z)=fx(z-y)(y)小 (2)=f(x)(z=x 这两个公式称为卷积公式 下面我们用卷积公式来求 z=X+Y的概率密度

特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX (x) , fY (y) , 则上述两式化为:   − f z = f z − y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( ) 这两个公式称为卷积公式 .   − f z = f x f z − x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度

例3若X和Y独立,具有共同的概率密度 1,0≤x≤1 f(x)= 0.其它求z=X+Y的概率密度 解:由卷积公式 .OO fz()= f(x)r(3-x)dx 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0<x<1 0<x<1 也即 0≤z-x≤1 z-1≤x≤z

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例3 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 .      = 0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x   − f Z (z) = f X (x) f Y (z − x)dx 解: 由卷积公式     −    0 1 0 1 z x x 也即    −     z x z x 1 0 1