《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 可测函数（4.4）可测函数的收敛性（续）

实变函数 第四章可测函数 第四节可测函数的收敛性(续)

第四章 可测函数

各种收敛定义 几乎处处收敛:→fae于E 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 几乎一致收敛:M→faM于E 去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致 依测度收敛:→/于E o>0.,有1imm-pd 0 n→)0

fn  f于E 0, lim 0   [|  | ]    f f  n n 有 mE 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 f n  f a.u.于E fn  f a.e.于E 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛

几乎处处收敛与几乎一致收敛(叶果洛夫定理) 设mEfae于E,则f→f于E( Lebesgue定理) 引理:设mE0,有mimm(uED-na)=0

若fn  f a.e.于E，则fn  f a.u.于E 几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） [| | ] . . 0, lim ( ) 0 n n f f N n N f f a e E m E        若  于 ，则  有   引理：设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 若fn  f a.e.于E ，则 f n  f 于E 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测

叶果洛夫定理的证明 证明:又引理知V6>0,有imm(Emn-2)=0 YA9>0A>03>0想m(E)<哥 ￥=T =V2 W<z从(∩E I-ISI 以5=9 <2Q k=I N=M2K [-IsF 6 oo F=I N=uY 四E=E-5=E∪6 ∪(∪-1k i(x)下E2一那孤玩(x) A算,ANs,Ax∈E.里"(x)-(x)k<

  0, lim (  [|  | ] )  0       f f N n N n 证明：又引理知 有 m E 1 1 [| | ] 2 0, 0, 0, ( ) k n k k k k f f n N N m E         从而      有   { ( )} ( ) | ( ) ( )| 1 1 f x E f x N n N x E f x f x n k k k n k 即 在上 一致收敛到 故 ， ， ， ，有             ( ) [| | ] 1 1 n k k f f k n N c E E e E e E               而                              k n k k n k k k f f k n N f f k n N me m E e E e e E 2 1 [| | ] 1 [| | ] 1 ( ) ( ), 1 令 1 则 可测， 且

fn→>fae,于E k=1N=1m=M八2)=0 →m(∪∩∪E 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue m(以Em)=0(v)(2)定理的证明的说明 limm(∪E )=0(3) N→)∞ n=N fn-f|≥E 叶果洛夫定理的证明 n→>fa.于E(4) Lebesgue定理的证明 imm(Em-n≥a)=0(5) (5)<→(6) 引理mE<+∞ fn→月E(6) (1)(2)→(3)=(4)

(1) (2) (3) (4) (5) (6)      引理：mE<+∞ lim ( ) 0 (3)  [|  | ]      f f  N n N n m E ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1                            f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e 于E (6) lim ( ) 0 (5) [| | ] f f E m E n f f N N  于      f n  f a.u.于E (4) Lebesgue定理

fn→fae.于E (1) 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue定 →m(∪∩∪E k=1N=1n=NJn-/≥k 理的证明的说明 ,s.sM)=0(6)(2)人叶果洛夫定理的证明 N=In=M Lebesgue定理的证明 lim n(∪E N→>∞0 n=M IJn-f|≥E] )=0(3) 5)0,由m(∩∪.E N=1n=Nf≥6] (1)(2)→(3)+(4) m(UE1Mn=2)→0N→∞) n 可知m(以E,=)=0

(1) (2) (3) (4) (5) (6)      Lebesgue定理的证明 的证明 下证明 由 引理：mE<+∞ (3)推出(2) ( ) 0 ( ) 0 0, ( ) [| | ] 1 [| | ] [| | ] 1                                 f f N n N f f n N f f N n N n n n m E m E N m E 可知 （ ） 由 lim ( ) 0 (3)  [|  | ]     f f  N n N n m E ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1                            f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e 于E

对引理、叶果洛夫定理及 Lebesgue定理的证明的说明 叶果洛夫定理的证明 N→n=1fn-f2a1)=0 limm(∪E (3) lebesgue定理的证明 fn→>fa.l.,JE(4 (5)+(6) 引理:E0,彐可测子集ecE,me0,K>0Vn≥K,x∈E-e,有|fn(x)-f(x)kE 从而当N≥时,m(∪ED2)≤m(UE=n2)≤me<6 A→=0M2/)=0注:叶果洛夫定理的逆定理成立 即limm(∪E

(1) (2) (3) (4) (5) (6)        Lebesgue定理的证明 的证明 引理：mE<+∞ 下证明 由(4)推出(3)                     0, 0, , , | ( ) ( ) | 0, , , K n K x E e f x f x e E me 有 n 可测子集 由f n  f a.u.于E可知： [| | ] [| | ] ( ) ( ) n n f f f f n N n K N K m E m E me            从而当  时，      f f a.u. E (4) n  于 lim ( ) 0 (3)  [|  | ]     f f  N n N n m E [| | ] lim ( ) 0 n f f N n N m E       即   的逆定理成立

注:a.叶果洛夫定理的逆定理成立,无论mE0,可测子集ecE,me<δ, 使得fn在E=E-e上一致收敛于f(x) 几乎处处收敛 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 n→1=0

即：若 f n  f a.u.于E，则fn  f a.e.于E 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ( ) 0, , , f E E e f x e E me 使得 n在 上一致收敛于 可测子集           去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 [ f  f ]  0 n E

叶果洛夫定理的逆定理 即:若fn→fan于E,则n→fae于E 证明:由条件知1存在可测集EcE 使m(E-E)0m→>∞) 从而m(E-E)=0 另外显然f1(x)在E=UE上点点收敛于f(x) 所以fn(x)在E上ae:收敛于f(x)

1 n n E E   令    1 ( ) ( ) 0( ) m E E m E En n ，则       n  从而m(E  E)  0 n n E E      另外显然 在 1 上点点收敛于 所以 在E上a.e.收敛于 n  1 En  E m E En n 1 (  )  证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 在 En上一致收敛于 ， 当然 在En上点点收敛于 即：若 f n  f a.u.于E，则fn  f a.e.于E

注:b叶果洛夫定理中条件mE0,3可测子集ecE,me0,3N。>0 Mn≥Na,Vx∈E-e,有,(x)-f(x)kE 不几乎一致收敛去掉任意小(适当小)测度集,在留下的集合上任不一致收敛 3δ>0,V可测子集ecE,me0,VN>0, n≥N,x∈E-e,有|fn(x)-f(x)≥E 3δ=,可测子集eCR+,me0, n=N≥N,Bx∈(R-e)∩(n,n+1),有|f(x)-f(x)=1≥E

不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛                     , , | ( ) ( ) | 0, , , 0, 0, n N x E e f x f x e E me N 有 n 可测子集                           , ( ) ( , 1), | ( ) ( ) | 1 , , , , 0, 2 1 2 1 n N N x R e n n f x f x e R me N 有 n 可测子集 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛                        , , | ( ) ( ) | 0, , , 0, 0, n N x E e f x f x e E me N 有 n 可测子集 n 1 (0, ] 0 ( , ) ( ) { x n n x n f x  例    在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,但fn不几乎一致收敛于f于R+