湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第三章 随机向量及分布（3.4）边缘分布

第三章第四节 边缘分布

第三章第四节 边 缘 分 布

()边缘分布函数 维随机向量(X,Y)作为一个整体,具有分 布函数F(x,p) 其分量X和Y也都是随机变量,也有自己的 分布函数,将其分别记为Fx(x),Fy(y) 依次称为X和Y的边缘分布函数 而把F(xy)称为X和Y的联合分布函数

(一) 边缘分布函数 二维随机向量(X,Y)作为一个整体,具有分 布函数F(x,y). 其分量X和Y也都是随机变量,也有自己的 分布函数,将其分别记为FX(x),FY(y). 依次称为X和Y的 边缘分布函数. 而把F(x,y)称为X和Y的 联合分布函数

注意 X和Y的边缘分布函数,本质上就是一维随 机变量X和Y的分布函数.之所以称其为边缘分 布是相对于(X,Y)的联合分布而言的 同样地,联合分布函数F(xy)就是二维随 机向量(X,Y)的分布函数,之所以称其为联合分 布是相对于其分量X或Y的分布而言的 求法 Fx(x)=P(X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) F(y)=P{Y≤y=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)

FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y) X和Y的边缘分布函数,本质上就是一维随 机变量X和Y的分布函数.之所以称其为边缘分 布是相对于(X,Y)的联合分布而言的. 同样地,联合分布函数F(x,y)就是二维随 机向量(X,Y)的分布函数,之所以称其为联合分 布是相对于其分量X或Y的分布而言的. 注意 求法

(二)二维离散型随机向量的边缘分布 般,对离散型rv(X,F) X和Y的联合概率函数为 P(XXi,Y=y=Pi> i,j=1, 2, 则(X,Y)关于X的边缘概率函数为 P(Xx=x)=P.=∑p,i=12, (XY)关于Y的边缘概率函数为 P(Y=y)=p,=∑P2,j=12

一般，对离散型r.v ( X,Y )， 则(X,Y)关于X的边缘概率函数为 P(X=x ) =p • = p , i = 1,2, j i i i j P(Y =y ) =p• = p , j =1,2, i i j i j (X,Y)关于Y 的边缘概率函数为 X和Y 的联合概率函数为 P(X=xi ,Y = y j )=pi j, i, j =1,2,  (二) 二维离散型随机向量的边缘分布

例1求:例3.2.1(P62)中(x,Y)的分量X和Y的 边缘分布 解 0 7/15 7/30 0 7/30 1/15 P=P{X=x}=∑P 77 7 153010 713 P2=P{X=x2}=∠P2-301510

解: 例 1 Y X 0 1 0 7/15 7/30 1 7/30 1/15 求:例3.2.1（P62）中(X,Y)的分量X和Y的 边缘分布. 10 3 15 1 30 7 { } 10 7 30 7 15 7 { } 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = = = = + = = = = = + =   =  =  j j j j p P X x p p P X x p

77 7 P1=P(Y=13=>Pl 153010 p2=PiY 3 P 301510 把这些数据补充到前面表上 0 p 7/15 7/30 7/10 0 7/30 1/15 3/10 7/10 3/10 p

10 3 15 1 30 7 { } 10 7 30 7 15 7 { } 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = = = = + = = = = = + =   =  =  i i i i p P Y y p p P Y y p Y X 0 1 pi. 0 7/15 7/30 7/10 1 7/30 1/15 3/10 p.j 7/10 3/10 1 把这些数据补充到前面表上:

例2(旧书P63,新书P60) 求:例3.2.2中(X,Y)的分量X和Y的边缘分布 解:P(X=0}=PX=0,y=0}+PX=0,y=1 =0.00013+0.19987=0.20000 P{X=1}=P(X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.00004+0.79996=0.80000 PY=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0} =0.00013+0.00004=0.00017 P{Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1 =0.19987+0.79996=0.99983 转下页

解: 例2 (旧书P63, 新书P60) 转下页 求:例3.2.2中(X,Y)的分量X和Y的边缘分布. P{X=0}= P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1} = 0.00013+0.19987=0.20000 P{X=1}= P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} = 0.00004+0.79996=0.80000 P{Y=0}= P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0} = 0.00013+0.00004=0.00017 P{Y=1}= P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1} = 0.19987+0.79996=0.99983

把这些数据补充到例3.2.2的计算结果上 是否患肺癌Y患 未患X的边缘分布 是否吸烟X Y=0 Y=1 吸烟{X=0} 0000130.19987 0.20000 不吸烟{X=} 0000407996 0.80000 Y的边缘分布0.000710.993

把这些数据补充到例3.2.2的计算结果上: 是否患肺癌 Y 是否吸烟 X 患 {Y=0} 未患 {Y=1} X 的边缘分布 吸 烟 {X=0} 0.00013 0.19987 0.20000 不吸烟{X=1} 0.00004 0.79996 0.80000 Y 的边缘分布 0．00017 0．99983 1

(三)、对连续型随机向量(X,Y) X和Y的联合概率密度为f(x,y) 则(X,Y)关于X的边缘概率函数为 fx(x)= f(x, y)dy (X,Y)关于Y的边缘概率函数为 fr(y=/(x,y)dx

（三）、 对连续型 随机向量 ( X,Y ) X和Y的联合概率密度为 则( X,Y )关于X的边缘概率函数为 ( X,Y )关于Y的边缘概率函数为 f (x, y)   − f x = f x y dy X ( ) ( , )   − f ( y ) = f ( x, y )dx Y

例3若(x,Y)服从矩形区域a≤x≤b.c≤y≤d 上均匀分布,两个边缘概率密度分别为 x∈[a2b f(x)= b-a f( C∈lc,d 0x≠[a,b 0y≠[c,d 注上题中X和Y都是服从均匀分布的随机变 量.但对于其它(不是矩形)区域上的均匀分布,不 定有上述结论

例3 若(X,Y)服从矩形区域a≤x≤b.c≤y≤d 上均匀分布,两个边缘概率密度分别为:        − = 0 [ , ] [ , ] 1 ( ) x a b x a b b a f x X        − = 0 [ , ] [ , ] 1 ( ) y c d y c d d c f y Y 注 上题中X和Y都是服从均匀分布的随机变 量.但对于其它(不是矩形)区域上的均匀分布,不 一定有上述结论