《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 可测函数（4.3）可测函数结构 Lusin定理

实变函数 第四章可测函数 第三节可测函数结构Lusn定理

第三节 可测函数结构 Lusin定理 第四章 可测函数

可测函数 ●可测集E上的连续函数定为可测函数 ●简单函数是可测函数 ●可测函数总可表示成一列简单函数的极限 (当可测函数有界时,可作到一致收敛) 问:可测函数是否可表示成一列连续函数的极限?

可测函数 ⚫ 简单函数是可测函数 ⚫ 可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛） 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ ⚫可测集E上的连续函数定为可测函数

鲁津定理 设x为E上几乎处处有限的可测函数,则E>0彐闭集FcE 使得m(EF)<E且f(x)在F上连续。 (去掉一小测度集,在留下的集合上成为连续函数) 即:可测函数“基本上”是连续函数 实变函数的三条原理( L.E. Littlewood) (1)任一可测集差不多就是开集(至多可数个开区间的并) 2)任一可测函数差不多就是连续函数 (3)任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列

鲁津定理 实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则   0,闭集F  E， 使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数 （3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列 （2）任一可测函数差不多就是连续函数

鲁津定理的证明 证明:由于mE[f+∞]=0,故不妨令fx)为有限函数 (1)当(x)为简单函数时, 令(x)=∑c5(x)(其中E=∪E,E可测且两两不交) VE>0,及每个E,作E中的闭子集F,使m(E-F)<(i=1,2,…,n) 当X∈E时,f(x)=c,所以f(x)在F上连续, 而F为两两不交闭集,故f(x)在F=上连续 显然F为闭集,且有 m(E-F)≤∑m(E1-F)<∑=6

鲁津定理的证明 证明：由于mE[|f|=+∞]=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时， ( ) ( ) 1 f x c x Ei n i  i  = 令 = 其中 i i 可测且两两不交） n i ( E E ,E =1 =  0, E E F m(E F ) (i 1,2, ,n)   及每个 i，作 i中的闭子集 i，使 i − i   n =    −   −   = = = n i n n i m E F m Ei Fi 1 1 ( ) ( ) i n i F F =1 =  当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续， 而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 上连续 显然F为闭集，且有

对f(x)在F连续的说明 ●若f(x)在F上连续,而F为两两不交闭集,则fx在F=∪F 上连续 证明:任取[eF=F 则存在io,使得X∈Fo,f(X)=co 又F为两两不交闭集,从而x在开集F)y中 所以存在6>0,使得o(x)=(∪Fy 从而O(x,。)∩F=O(x0)(F)=Ox)∩F 故对任意x∈O(x,δ)∩F,有f(x)-f(×)|=0,故f连续

对f(x)在F连续的说明 ⚫ 若f(x)在Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则f(x)在 上连续 i n i F F =1 =  故对任意x`∈O(x, δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f 连续 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 1 i i n i O x F = O x  F = O x F = 从而    Fi0 ( ) x i n i x F F =1 证明：任取  =  则存在 i0，使得x∈Fi0，f(x)= ci0， c i i i ( F )  0 又Fi为两两不交闭集，从而x在开集  中 c i i i O(x, ) ( F )  0 所以存在δ>0, 使得   

对f(x)在F连续的说明 条件F为两两不交闭集必不可少,如: D(x) 1x∈Q 0x∈R-Q 函数在每一块上为常值,故在每一块上都连续, 但函数在R上处处不连续 说明:取闭集的原因在于闭集的余集为开集,开集中的点为 内点,从而可取x∈F足够小的邻域不含其他F中的点

对f(x)在F连续的说明 说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取x∈Fi足够小的邻域不含其他Fi 中的点 函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续， 但函数在R上处处不连续 x Q x R Q D x  =  − 1 0 ( ) { 条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：

鲁津定理的证明 2)当x)为有界可测函数时 存在简单函数列{q(x)在E上一致收敛于fx) 利用(1)的结果知 VE>0,及每个(x),存在闭集FnCE, 使m(E-F1)<且(x)在F上连续 令F=⌒F,则FcE,且m(E-F)s∑m(E-F)<∑数=E 由{qn(x)}在F连续及一致收敛于f(x), 易知f(×)在闭集F上连续

鲁津定理的证明 (2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn (x)} 在E上一致收敛于f(x)，   =   −   −   =  =  =  = 1 2 1 1 ( ) ( ) n n n n n 令F F ，则F E，且m E F m E F n 由{φn (x)} 在F连续及一致收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。 使 且 在 上连续 及每个 ，存在闭集 ， n n n n n m E F x F x F E ( ) n ( ) 0, ( ) 2     −     利用(1)的结果知

鲁津定理的证明 (3)当f(x)为一般可测函数时,作变换 f(x) 2(x)=1+f(x) g (f(x) g(x 则g(x)为有界可测函数,应用(2)即得我们的结果 (连续函数类关于四则运算封闭)

鲁津定理的证明 则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果 （连续函数类关于四则运算封闭） ) 1 | ( )| ( ) ( ( ) 1 | ( )| ( ) ( ) g x g x f x f x f x g x − = + = (3)当f(x)为一般可测函数时，作变换

注:(1)鲁津定理推论 若(x)为EcR上几乎处处有限的可测函数, 则E>0闭集FcE及R上的连续函数g(x) 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<E(对n维空间也成立) (在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数 鲁津定理(限制定义域) (即:去掉某个小测度集,在留下的集合上连续)

注：(1)鲁津定理推论 鲁津定理（限制定义域） （即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续） （在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数） 若f(x)为 E  R 上几乎处处有限的可测函数， 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（对n维空间也成立） 则   0,闭集F  E， 及R上的连续函数g(x)

鲁津定理推论证明的说明 开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并 F=Ua,b, a1 鲁津定理:设(x)为E上几乎处处有限的可测函数, 则vE>0,闭集FcE使得m(EF)<e且(x)在F上连续

开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 ai bi 直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并 ( , ) i i i c F =  a b 鲁津定理推论证明的说明 鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则   0,闭集F  E，使得m(E-F)<ε且f(x)在F上连续