温州大学：《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 多项式（1.11）对称多项式

§1.1对称多项式

§1.11 对称多项式

对称多项式是多元多项式中常见的一种,也是 类比较重要的多元多项式,它的应用比较广泛,对称 多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面,是 元多项式根的研究,下面我们从一元多项式的根与系 数的关系谈起 设f(x)=x"+ax+…+a,是F[x]的一个多项式, 如果f(x)在F中有n个根a12a2…n(重根按重数计算), 则f(x)可分解为f(x)=(x-a)(x-a)(x-a) 把上式展开,比较两边系数, 得根与系数关系如下: 第一章多项式

第一章 多项式 对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一 类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称 多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一 元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系 数的关系谈起。 设 ( ) 1 1 n n n f x x a x a − = + + + 是 F x  的一个多项式， 如果 f x( ) 在F中有n个根 1 2 , , ,    （重根按重数计算）， n 则 f x( ) 可分解为 ( ) ( 1 2 )( ) ( ). n f x x x x = − − −    把上式展开，比较两边系数， 得根与系数关系如下：

1=c1+2+…+n 2=c1a2+c103+…+n1O 所有可能的个不同的a的 (-1)a=∑a4a…a 乘积之和 (-1)an=a1a2…an 由此看出,多项式的系数是对称地依赖于方程 的根的,改写上述方程组得 第一章多项式

第一章 多项式 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 , , 1 1 j i n n n i k i k k k n n n a a i a a                 −  − = + + +  = + + +        − =          − =   所有可能的 个不同的 的 乘积之和 由此看出，多项式的系数是对称地依赖于方程 的根的，改写上述方程组得

x1+x2+…+ 2=X1x2+x1x3+…+ 所得n个n元多项式是对称地依赖于文字x,x2…xn 下面给出对称多项式的概念 定义1.111:对于n元多项式f(x2…x) 如果对任意的i,1≤i<j≤n 都有f(x,…,x 则称这个多项式为对称多项式 第一章多项式

第一章 多项式 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 , , n n n n n x x x x x x x x x x x x    −  = + + +   = + + +     = —（1） 所得n个n元多项式是对称地依赖于文字 1 2 , , , n x x x 下面给出对称多项式的概念。 定义1.11.1：对于n元多项式 f x x ( 1 , , , n ) 如果对任意的 i j i j n , ,1 ,    都有 f x x x x f x x x x ( 1 1 , , , , , , , , , , i j n j i n ) = ( ) 则称这个多项式为对称多项式

例如:f(x,x2,x)=xx2+x2x3+xx2+x1x2+x2x2+x2x 是一个三元对称多项式, f(x1…,x)=x2+x2+…+x 是一个n元对称多项式。 (1)中的可1…,On都是n元对称多项式 称为初等对称多项式。 并非每一个多项式都是对称多项式, 例如∫(x,x,x3)=x3+x2x3 这时 f(x2,x2,x)=x3+x2x≠x+x2x3=f(x,x2x) 第一章多项式

第一章 多项式 例如： ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x x x x , , = + + + + + 是一个三元对称多项式， ( ) 2 2 2 1 1 2 , , n n f x x x x x = + + + 是一个n元对称多项式。 （1）中的   1 , , n 都是n元对称多项式， 称为初等对称多项式。 并非每一个多项式都是对称多项式， 例如 ( ) 3 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x , , = + 这时 ( ) ( ) 3 3 3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x x x x f x x x , , , , = +  + =

由定义可以推出: 1、两个n元对称多项式的和、差、积仍是n元 对称多项式; 2、如果一个对称多项式f(x1…;x)含有一项 ax鸡2…x,则f(x…x)也一定含有一切形如 axx2…x的项。这里(1k2…k)是 (k,k,…k)的任意一个排列; 3、如果f,2…,fm是n元对称多项式,而 g1,y y)是任一多项式,那么 g(1,2,…,m)=h(x…,x)是n元对称多项式 第一章多项式

第一章 多项式 由定义可以推出： 1、两个n元对称多项式的和、差、积仍是n元 对称多项式； 2、如果一个对称多项式 f x x ( 1 , , n ) 含有一项 1 2 1 2 , n k k k n ax x x 则 f x x ( 1 , , n ) 也一定含有一切形如 1 2 1 2 i i in k k k n ax x x 的项。这里 (k k k i i in 1 2 , , , ) 是 (k k k 1 2 , , , n ) 的任意一个排列； 3、如果 1 2 , , , m f f f 是n元对称多项式，而 g y y y ( 1 2 , , , n ) 是任一多项式，那么 g f f f h x x ( 1 2 1 , , , , , m n ) = ( ) 是n元对称多项式

在对称多项式的理论中,初等对称多项式占有 个很重要的地位。下面将要证明,每一个n元对 称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式 σn的多项式。这是对称多项式的基本定理 下面不加证明给出一个引理。 引理1111设(x…,x)=∑增鸡…劝 是数域F上一个n元多项式,以G1代替x,1≤i≤n 得关于σ12…,on的一个多项式 ∫(o1o2…o)=∑ak-…可 如果f(a,o2…;an)=0.则有f(x,x2…x)=0 第一章多项式

第一章 多项式 在对称多项式的理论中，初等对称多项式占有 一个很重要的地位。下面将要证明，每一个n元对 称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式 1 2 , , ,    n 的多项式。这是对称多项式的基本定理。 下面不加证明给出一个引理。 引理1.11.1：设 ( ) 1 2 1 2 1 1 2 , , n n i i i n i i i n f x x a x x x = 是数域F上一个n元多项式，以  i 代替 , 1 , i x i n   得关于 1 , ,   n 的一个多项式 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , n n i i i n i i i n f a       = 如果 f (   1 2 , , , 0, n ) = 则有 f x x x ( 1 2 , , , 0. n ) =

定理1.11.1: 数域F上每个n元对称多项式f(x1x2…,x) 都可以表成关于初等对称多项式a1,a2…on的多项式 g(1,O2…a)且这种表示方法是唯一的 证明: 1、设对称多项式∫(x2…x)按字典排列的首项是 k1 a k2 2 (2) 则这一项的幂指数k,k2…kn必满足不等式: k1≥k2≥…≥kn 第一章多项式

第一章 多项式 定理1.11.1： 数域F上每个n元对称多项式 f x x x ( 1 2 , , , n ) 都可以表成关于初等对称多项式 1 2 , , ,    n 的多项式 g (   1 2 , , , n ) 且这种表示方法是唯一的。 证明： 1、设对称多项式 f x x ( 1 , , n ) 按字典排列的首项是 1 2 1 2 n k k k n x x x —（2） 则这一项的幂指数 1 2 , , , n k k k 必满足不等式： 1 2 . n k k k   

不然,设有某个i,使k<k1 由于f(x1…x)是对称多项式,故f(x2…x) 也含有项 k1 ki+1 k i k,r (3) 而按字典排列法,(3)项应在(2)项之前, 这与(2)项是首项矛盾。 2、令81 kI-h2 ak2-k3 2 由k≥k2≥…≥k知,每一个σ的幂指数都是非负 整数,而作为一些初等对称的幂的乘积,81是 ,…,xn的一个对称多项式,g1的首项是 第一章多项式

第一章 多项式 不然，设有某个i，使 1 . i i k k  + 由于 f x x ( 1 , , n ) 是对称多项式，故 f x x ( 1 , , n ) 也含有项 1 1 1 1 i i n k k k k i i n ax x x x + + —（3） 而按字典排列法，（3）项应在（2）项之前， 这与（2）项是首项矛盾。 2、令 1 2 2 3 1 1 1 2 1 n n n k k k k k k k n n g a    − − − − = − 由 1 2 n k k k    知，每一个  i 的幂指数都是非负 整数，而作为一些初等对称的幂的乘积， 1 g 是 1 , , n x x 的一个对称多项式， 1 g 的首项是

x2) X1x2 x…x kil wki 它等于f的首项。因此令f=f-g1 f是一个n元对称多项式,且f的首项小于f 的首项,对f重复上述消去首相的方法,我们得到 对称多项式f=-g2,82是F上的初等对称多项式的 幂的乘积,2的首项小于f的首项 如此继续作下去,这个过程一定在有限步后终 止,即存在一个自然数m,使m=0 第一章多项式

第一章 多项式 ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 n n n k k k k k k k n n ax x x x x x x x x − − − − − 1 1 1 1 . i i n k k k k i i n ax x x x + = + 它等于f的首项。因此令 1 1 f f g = − . 1 f 是一个n元对称多项式，且 1 f 的首项，对 的首项小于f 1 f 对称多项式 重复上述消去首相的方法，我们得到 2 1 2 f f g = − , 2 g 是F上的初等对称多项式的 幂的乘积， 2 f 的首项小于 1 f 的首项。 如此继续作下去，这个过程一定在有限步后终 止，即存在一个自然数m，使 0. m f =