《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 可测函数（4.1）可测函数的定义及其简单性质

实变函数 第四章可测函数 第一节可测函数的定义及其简单性质

第一节 可测函数的定义及其简单性质 第四章 可测函数

新的积分( Lebesgue积分,从分割值域入手) E={x:y1≤f(x)<y y1≤51<V 用mE表示E的“长度” (L)f(x)dx=im∑2m Ei [a,b] 问题:怎样的函数可使E都有“长度”(测 度)?

新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） i n i i a b L f x dx  m E  = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim   yi yi-1 { : ( ) } i i 1 i E = x y  f x  y − i i i y   y −1  用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?

1可测函数定义 定义:设x是可测集E上的实函数(可取士) 若a∈RE可测,则称是E上的可测函数 例(1)零集上的任何函数都是可测函数。 注:称外测度为0的集合为零集;零集的子 集,有限并,可数并仍为零集

1可测函数定义   [ ] , R E f a a    例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数

可测函数∈RE可测 (2)简单函数是可测函数 若=(E可测且两两不交),f(x)在 每个E上取常值c,则称f(x)是E上的简单函数; (x)=)z()x2(x)=10xE 注: Dirichlet函数是简单函数

(2)简单函数是可测函数 i n i E E =1 =  ( ) ( ) 1 f x c x Ei n i  i  = =  i i i x E E x E E x  =  − 1 0  ( ) 可测函数 a R, E[ f a] 可测 注：Dirichlet函数是简单函数 0 1 若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；

(3)可测集E上的连续函数x)必为可测函数 设x)为E上有限实函数,称x)在x∈处连续 若vE>0.36>0使得f(OE)O( 对比:设x)为(a.b)上有限实函数,(x)在∈(ab)处连续 若lmnf(x)=f(x) x→x 即vE>0,36>0,当x-xko时,有|f(x)-f(x)k0,36>0,当x∈O20.时,有f(x)∈O(x)2) 即E>0,36>0,使得(Om0)cOr(m)2 fx)在x∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)

（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数 即  0,  0,当| x − x0 | 时，有| f (x) − f (x0 )|  对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， 0 f x x a b ( ) ( , ) 在  处连续 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 若 ( ( 0 , ) ) ( ( 0 ) , ) 0, 0,   O x  O f x  即    使得f  ( 0 , ) ( ) ( ( 0 ) , ) 0, 0,   x  x O f x  即    当xO 时，有f  ( ) ( ) ( ) [ , ] f(x) 在x0  a b 处连续(对闭区间端点则用左或右连续) ( , ) ( ( ), ) 0 0 0, 0, ( )     O x E O f x 若    使得f   设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续

可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 证明:任取ⅹ∈Ffa]则fx)>a,由连续性假设知, 对E=f(x)-a,36,>0,使得f(Oa,EcO((a+0) 围O∩ECEl 令G=∪O E ,O) 则G为开集,当然为可测集,且 GnE=CU OO.nE=U(Ox.5. ECE Lf>a 反之EpC( O6.)E=G∩E x∈E Tf>al 故E [∫>a G∩E为可测集

可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 故E[ f a] = G  E为可测集 ( ) , 0, ( ) ( , ) = f x − a  x  f O( x, )  E  O( f ( x), )  a + x    对 使得 ( , ) [ ] x 即O E E x f a     证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知， ( ) x０ f(x0 )+ε f(x0 ) f(x0 )-ε a [ ] ( , ) x f a x x E G O    令 =  [ ] [ ] ( , ) ( , ) [ ] ( ) ( ) x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E        另外  =   =    则G为开集，当然为可测集，且 [ ] [ ] ( , ) ( ) x f a f a x x E E O E G E     反之所以    = 

(4)R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明:不妨设f单调增,对任意a∈R 令Ln=in(x(x)>a 由单调增知下面的集合为可测集 E∩[la,+∞)当a∈{xf(x)>a} [/>a]-E∩(la,+∞)当la{xf(x)>a} a XI X

⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 a I a x1 x2 [ , ) { | ( ) } [ ] ( , ) { | ( ) } { E I I x f x a f a E I I x f x a a a a a E  +    =  +   当 当 由f单调增知下面的集合为可测集 I inf{ x | f (x) a} 令 a =  证明：不妨设f单调增，对任意a∈R

3可测函数的等价描述 1.定义:设fx)是可测集E上的实函数,则 fx)在E上可测(即()a∈R,Ea可测 →(2)Va∈R,E 3[f2a 可测 (3)Va∈R,E1a可测 (4)va∈R,E1a可测 (5)Va.b∈Raal )∪E n=1[f≥a+-1 [f≥a] a≤fa-- E1as≤b1=Fra⌒Ersb1

⒊可测函数的等价描述  (2) a R,E[ f a] 可测  (3) a R,E[ f a] 可测  (4) a R,E[ f a] 可测[ ] (5) , , , ( | ( ) | ) a f b a b R a b E f x      +   可测 充分性要求 证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 [ ] 1 [ ] [ ] [ ] 1 1 [ ] [ ] 1 [ ] [ ] [ ] 1 [ ] ( ) f a f a a f a n f n n f a n f a a f b f a f b n f a n E E E E E E E E E E       + =+ = =  +       =  − =  =   =  =  ( (1) , ) 即 a R E[ f a] 可测 ⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测

对前面等式的说明 ∩E (=∩E >a 1= n=1 f≥a-1 [n+∞)=∩(a-n,+∞)( nla + 1/n a a a+1/r (a+∞)=[a+n,+∞)(=(a+1,+∞) n=1 ∪E (=∪E a+ >a+

对前面等式的说明 ( ) [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1 1 n n f a n f a n E f a E E  −  =  −  =  =  =  [ , ) ( , ) ( [ , ) ) 1 1 1 1 + =  − + =  − +  =  = n n n n a a a ( [ a-1/n a ( ) [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1 1 n n f a n f a n E f a E E  +  =  +  =  =  =  ( , ) [ , ) ( ( , ) ) 1 1 1 1 + =  + + =  + +  =  = n n n n a a a ( [ a a+1/n

4.可测函数的性质 (1)可测函数关于子集、并集的性质 即若fx)是E上的可测函数,EcE,E可测, 则f(x)限制在E1上也是可测函数; ●反之,若E=1En,f(x)限制在En上是可测函数 则fx)在E上也是可测函数 Saler E [∫>a [∫>a ∪E nl t>a

⒋可测函数的性质 [ ] 1 1[ ] [ ] 1 [ ] n f a n E f a E f a E E f a E   =  =    =  ⑴可测函数关于子集、并集的性质 n n E E  = =  ⚫反之，若 1 , f(x)限制在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。 1 1 ⚫即:若f(x)是E上的可测函数, E  E,E 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；