《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 测度理论（3.3）开集的可测性

实变函数 第三章测度理论 第三节开集的可测性

第三节 开集的可测性 第三章 测度理论

例区间团是可测集,且m/= 证明见书本p66 零集、区间、开集、闭集、园G型集(可数个开集的交) 型集(可数个闭集的并)、 Borel型集(粗略说:从开集出发 通过取余,取交或并(有限个或可数个)运算得到)都是可测集 注:开集、闭集既是型集也是□型集 有理数集是F型集,但不是G月型集 无理数集是G型集,但不是F型集。 有理数集可看成可数个单点集的并,而单点集是闭集; 通过取余G型集与石型集相互转化(并与交,开集与闭集互换

注：开集、闭集既是 型集也是 型集； 有理数集是 型集，但不是 型集； 无理数集是 型集，但不是 型集。 G G G F F F 有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换） 例 区间 I 是可测集，且 F 注：零集、区间、开集、闭集、 G 型集（可数个开集的交）、 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。 证明见书本p66 mI =| I |

2.可测集与开集、闭集的关系 (1)若E可测,则∨E>0,彐开集G 使得EG且m(G-E)0,彐闭集F, 使得FE且m(E-F)<E

2. 可测集与开集、闭集的关系 即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。    −     ( ) (1) 0, E G m G E E G 使得 且 若 可测，则 开集 ，    −     ( ) (2) 0, F E m E F E F 使得 且 若 可测，则 闭集

1)若E可测,则∨E>0,开集G(2)若E可测,则∨E>0,闭集F, 使得EcG且m(G-E)0,开集G,使得EcG且m(G-E)<E 取F=G,则F为闭集FcE 且m(E-F)=m(E∩F) m((e nF)=m(f-e=m(G-e)<a

证明：若(1)已证明，由Ec可测可知   0,  ( − )   c c 开集G，使得E G且m G E =  = − = −   − =  (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c c m E F m F E m G E 且m E F m E F 取F=G c，则F为闭集 F  E    −     ( ) (1) 0, E G m G E E G 使得 且 若 可测，则 开集 ，    −     ( ) (2) 0, F E m E F E F 使得 且 若 可测，则 闭集

(1)若E可测,则vE>0,3开集G,使得EcG且m(G-E)0开区间列,使得EcM1HmEs∑1|mE+a 令G=∪1,则G为开集,EcG,且 mE≤mGs∑m,s∑|1|mE+6 从而(这里用到mE<+∞) m(g-e=mG-me<&

(1).若E可测，则 证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知   0,开集G，使得E  G且m(G−E)   1 1 1 , | | i i i i i i G I G E G mE mG mI I mE   =   = = =       +   令 则 为开集， ，且 m(G − E) = mG − mE   从而（这里用到mE<+∞ ）        +   =  = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |

(2)当mE=+∞时 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并: E=0E1(mE1<+∞) 对每个E应用上述结果 日开集G,使得E,cG且m(G-E)<分 令G=∪G,则G为开集,EcG,且 m(G-E)=m(UG; -UE)=m((, -UE) km(G-E)s∑m(G-E)≤∑<6 i=1

令G Gi 则G为开集，E G，且 i =    = , 1     −  −   − =  − =  −    =  =  =  =  =  =  = 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ( )) (( ) ( ) ( ) ( ( )) i i i i i i i i i i i i i i i m G E m G E i m G E m G E m G E i Gi Ei Gi m Gi Ei 2 ( )  开集 ，使得  且 −  对每个Ei应用上述结果 ( ) 1 =   +  = i i i E E mE (2)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：

例设E∈R,若vE>0开集G,使得EcG 且m(G-E)<,则E是可测集。 证明:对任意的1/n, 日开集G,使得EcG且m(Gn-E)<n 令O=∩G,则O为G型集,EO且 m(O-E)≤m(Gn-E)≤n,n=1,2,3,… 故m(O-E)=0 从而E=O-(OE为可测集

例 m  (O − E)  m  (Gn − E)  1 n ,n =1,2,3,  1 n n O G O G  = 令 =   ，则 为 型集，E O且 且 ，则 是可测集。 设 ，若 开集 ，使得 m G E E E R G E G n   −        ( ) 0, m O E ( ) 0  故 − = 从而E O O E = − − ( )为可测集 Gn E Gn m Gn E n 1   ( − )  开集 ，使得 且  证明：对任意的1/n

例:设E为[0,1中的有理数全体,试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。 E={1, 开集 G=U(r 2+1 r+2) 闭集:空集 例:设巨为[0,1中的无理数全体,试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集 开集:(O,1) 闭集:F=0.1- +1 :

例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。 例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小 测度集的开集和闭集。 { , , , } E = r1 r2 r3  开集: (0,1) 闭集： [0,1] ( 1 , 1 ) 2 2 1 = − − + + +  = i i i i i F r r   ( 1 , 1 ) 2 2 1 =  − + + +  = i i i i i G r r 开集：   闭集：空集

3可测集与G集和F集的关系 (1)若E可测,则存在型集O使 EcO目m(O-E)=0 可测集可由回型集去掉一零集 或F型集添上一零集得到。 (2)若E可测,则存在园型集H使 HcE且m(E-H)=0

3. 可测集与 G 集和 F 集的关系 G F 可测集可由 型集去掉一零集， 或 型集添上一零集得到。 H  E且m(E − H) = 0 (2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 E  O且m(O−E) = 0 (1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使

(1)若E可测,则存在G型集O使EcO且mO-E)=0 (2)若E可测,则存在型集使HcE围E-HD)=0 证明:若(1)已证明,由E可测可知 G型O,使得EcO且m(O-E°)=0 取HO,则H为型集,HcE且 m(E-H)=m(E∩H°) m((e)nh)=m(h-e)=m(o-e)=0

  ( − ) = 0 c c G 型O，使得E O且m O E (( ) ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) =  = − = − = − =  c c c c c c c m E H m H E m O E m E H m E H E  O且m(O−E) = 0 F H  E且m(E − H) = 0 G (1).若E可测，则存在 型集 O, 使 (2).若E可测，则存在 型集H, 使 证明：若(1)已证明，由Ec可测可知 取H=O c，则H为 F 型集 ， H  E 且