《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 集合及其基数（1.1）集合及其运算

实变函数 第一章集合及其基数 第一节集合及其运算

第一节 集合及其运算 第一章 集合及其基数

1.集合的基本概念及运算 差:A-B或A\B={x:x∈A但x≠B 余:CA=S-4(其中S为全集)简记为A 注:A-B=AAB° (A-B)∪B=A不一定成立 注:书中用C表示包含或真包含关系

1. 集合的基本概念及运算 差：A−B或A\ B ={x : x A但xB} (A− B)B = A不一定成立 A B 注：书中用  表示包含或真包含关系 c 注：A− B = A B 余：Cs A = S − A （其中S为全集）,简记为Ac

2集簇的交和并 集簇:{4a∈或A I为指标集,a为指标 特别当r=N时,称集簇为集列,记为A 集簇的并 AUB={x:x∈A或x∈B 2={x:3a∈r,使r∈ 注:当=时,如何?

2.集簇的交和并 AB ={x : x A或xB} { : , }    A = x   x A   使 为指标集，为指标 注：当  =  时，如何？ 集簇的并      集簇： {A | }或{A } { } 特别当  = N 时，称集簇为集列，记为 An

集簇的交 A∩B={x:x∈A且x∈B ∩An={x:a∈,有x∈A} C∈T 注:当【=Φ时,如何?

AB ={x : x A且xB} { : , }    A = x   x A   有 集簇的交 注：当  =  时，如何？

例设4n={x:-1-n<x≤1-n},n∈N 1/n 01-1/m n/[-101 -2 注:在本书中我们未把0包含在N内,+∞不在N中

例 注：在本书中我们未把0包含在N内, +∞不在Ｎ中 { : 1 1 }, , 1 1 设An = x − − n  x  − n n N [ 1,0] 1  = −  = n n A ( 2,1) 1  = −  = n n A ( ( ] ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1

设/:E→R记Ea={x∈E:f(x)>a,则 E [≥a] (=∩E > [a+∞)=0(a-1,+)(aa-h,+∞) n- a-1/n [([ -1/1a-1/a-l/n+1a

例 [ ] 1 [ ] 1 n f a n E f a E  −  =  =  设f : E → R,记E[ f a] ={x E : f (x)  a},则 ( [ a-1/n a [ , ) ( , ) 1 1 + =  − +  = n n a a ( ) [ ] 1 1 n f a n E  −  = =  ( [ , )) 1 1  − +  = n n a ( [ ( [ [ a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a

例设f:E→R记E1={x∈E:f(x)>a,则 ∪E (= n=1 a+ LEL >a+ (a,+∞)=[a+1,+∞) (=∪(a+1,+∞) a a+1/n

例 设f : E → R,记E[ f a] ={x E : f (x)  a},则 [ ] 1 [ ] 1 n f a n E f a E  +  =  =  ( [ a a+1/n ( ( , ) ) 1 1 =  + +  = n n a ( ) [ ] 1 1 n f a n E  +  = =  ( , ) [ , ) 1 1 + =  + +  = n n a a

笛卡尔乘积 A×B={(a,b):a∈A,b∈B} ∏4=(x1,x2…,xn):x∈A,=1,2,…,n} ∏4=x,x2,…x,):x∈A,=1,2, i=1 思考:如何定义任意多个集合的笛卡尔乘积?

A B ={(a,b): a A,b B} {( 1 , 2 , , , ): , 1,2, , , } 1 A x x  xn  xi Ai i  n  i  i =  =  = {( 1 , 2 , , ): , 1,2, , } 1 A x x xn xi Ai i n n i  i =   =  = 笛卡尔乘积 思考：如何定义任意多个集合的笛卡尔乘积？

3集合的运算性质 De morgan公式 ∈r s∈I s∈I ss∈I ()。= 注:通过取余集,使A与A,∪与∩互相转换

3.集合的运算性质     =     c c ( A ) A     =     c c ( A ) A De Morgan公式 注：通过取余集，使A与Ac ，∪与∩互相转换

4.上、下极限集 设A,A2…,42…,是一个集合序列 上极限集 例:设A2=[O,1 im4(或 Isup4) A2n+1=[1,2]; n→>00 则上极限集为[0,2 x:x属于无限多个集合An} x:存在无限多个A,使x∈An} ={x:N,n≥N,使x∈A ∩U∪A N=In=N

{ : , , } An = x N n  N 使x 设A1 , A2 ,  , An , 是一个集合序列 4.上、下极限集 ( ) { : } { : } lim n n limsup n n n n n A A x x A x A x A → = =  或 属于无限多个集合 存在无限多个 ，使 上极限集   =  = = N 1n N An BN 例：设A2n=[0,1] A2n+1=[1,2]; 则上极限集为[0,2］