《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 可测函数（4.3）单调函数的可导性

实变函数 第四节微分与不定积分 4.3单调函数的可导性 目的:熟悉左、右导数的概念,理解为 什么单调函数几乎处处有有限导数。 重点与难点:单调函数的可导性及其证 明

4.3 单调函数的可导性 目的：熟悉左、右导数的概念，理解为 什么单调函数几乎处处有有限导数。 重点与难点：单调函数的可导性及其证 明。 第四节 微分与不定积分

第三节单调函数的可导性 基本内容: 导数定义 问题1:回忆微积分中导数的定义, 如何判断导数是否存在?

基本内容： 一．导数定义 问题1：回忆微积分中导数的定义， 如何判断导数是否存在？ 第三节 单调函数的可导性

第三节单调函数的可导性 从数学分析知道,[a,b]上的函数y=f(x) 在x∈ab]处的可导性等价于 J(x+b)-(x)=Ⅷ0 这也是我们讨论函数可导性的一个常用 的方法。因此,我们也给上面的左、右 极限一个名称,这就是

从数学分析知道， 上的函数 在 处的可导性等价于 这也是我们讨论函数可导性的一个常用 的方法。因此，我们也给上面的左、右 极限一个名称，这就是 第三节 单调函数的可导性 [a,b] y = f (x) [ , ] x0  a b . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 h f x h f x h f x h f x h h + − = + − → + → −

第三节单调函数的可导性 (1)左下、左上、右下、右上导数 定义3设y=f(x)是[a,b上的有限 函数,x0∈(a,b),记 D'f(o)=lim f(xo+h)-f(xo) h→>0 Df(o)=lim f(xo+h)-filx h

(1) 左下、左上、右下、右上导数 定义3 设 是 上的有限 函数， ，记 第三节 单调函数的可导性 y = f (x) [a,b] ( , ) x0  a b h f x h f x D f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → + + h f x h f x D f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → + +

第三节单调函数的可导性 Df(ro)=limn f(xo+h)-f(x) Df(xo=lim(xo+)f(ro) h→>0 h 分别称Df,D,f,Df,Df为f在 点右上、右下、左上、左下导数

第三节 单调函数的可导性 h f x h f x D f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → − − h f x h f x D f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → − − 分别称 为 f 在 点右上、右下、左上、左下导数。 D f D f D f D f − − + + , , , 0 x

第三节单调函数的可导性 显然,∫在xn点有导数当且仅业 Dtf(o)=Df(xo) D f()=Df(xo)=f(o) 当∫在x点有有限导数时,也称 f在x0点可微

当 f 在 点有有限导数时，也称 f 在 点可微。 第三节 单调函数的可导性 显然，f 在 x0 点有导数当且仅当 ( ) ( ) 0 0 D f x D f x + + = ( ) ( ) '( ). 0 0 0 = D f x = D f x = f x − − 0 x 0 x

第三节单调函数的可导性 (2)导数的存在性与可导性 上述定义与数学分析中导数定义有一点 差别。事实上,在数学分析中,讲导数 通常都是指可导,也就是说,其导数是 个有限数,此处则不同,导数值可以 取∞,因此,当Df=D.f=Df=D 我们称∫在该点有导数,而不说在该点 是可导的,就是由于这个缘故

第三节 单调函数的可导性 (2) 导数的存在性与可导性 上述定义与数学分析中导数定义有一点 差别。事实上，在数学分析中，讲导数 通常都是指可导，也就是说，其导数是 一个有限数，此处则不同，导数值可以 取∞，因此，当 时， 我们称 f 在该点有导数，而不说在该点 是可导的，就是由于这个缘故。 D f D f D f D f − − + + = = =

第三节单调函数的可导性 (3)导数值为∞的例子 x>0 例设f(x)=snx={0,x=0, 1.x<0 则f"(O=∞ 从这个例子不难看到,函数在一点有 导数并不意味着它在该点连续,上述 函数在x=0点就是间断的

第三节 单调函数的可导性 (3) 导数值为∞的例子 , 1, 0 0, 0 1, 0 ( ) sgn      −  =  = = x x x f x x x = 0 从这个例子不难看到，函数在一点有 导数并不意味着它在该点连续，上述 函数在 点就是间断的。 例 设 则 f '(0) = 

第三节单调函数的可导性 单调函数的可导性 (1)左、右控点的定义 定义4设f是[a,b上的连续函数,xe(a,b), 若存在x'∈(x,b)使得 f(x)<疒"(x"), 则称x是f的右受控点,简称为右控点 若x∈(a,x)存在,使 f(x)<f(x), 则称x是f的左受控点,简称为左控点

定义4 设 f 是 上的连续函数， 若存在 使得 ， 则称 x 是 f 的右受控点，简称为右控点。 若 存在，使 ， 则称 x 是 f 的左受控点，简称为左控点。 二．单调函数的可导性 (1) 左、右控点的定义 第三节 单调函数的可导性 [a,b] x(a,b), x'(x,b) f (x)  f '(x') ( , ) ~ x  a x ) ~ f (x)  f (x

第三节单调函数的可导性 (2)左、右控点集的性质 间题2:为什么要引入左、右控点概念? 其实质是什么?

第三节 单调函数的可导性 (2) 左、右控点集的性质 问题2：为什么要引入左、右控点概念？ 其实质是什么？