《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第七章 参数估计（7.3）区间估计

ch7-68 §7.3区间估计 引例已知X~N(,1) 的无偏、有效点估计为Ⅹ 常数 随机变量 不同样本算得的μ的估计值不同, 因此除了给出μ的点估计外,还希望根据 所给的样本确定一个随机区间,使其包含 参数真值的概率达到指定的要求

ch7-68 §7.3 区间估计 引例 已知 X ~ N (  ,1), 不同样本算得的  的估计值不同， 因此除了给出  的点估计外, 还希望根据 所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.  的无偏、有效点估计为 X 常数 随机变量

ch7-69 如引例中,要找一个区间使其包含的 真值的概率为0.95.(设n=5) 1 XN u,,, N(0,1) 取a=0.05 查表得 z=1.96 C

ch7-69 如引例中，要找一个区间,使其包含  的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )       5 1 X ~ N  , ~ (0, 1) 5 1 N X −   取  = 0.05 查表得 1.96 z / 2 =

h7-70 X-u 这说明P ≥1.96|=0.05 即P|X-1.96 3s≤F +1.96 =0.95 称随机区间(x-196%,x+196 为未知参数μ的置信度为0.95的置信区间

ch7-70 这说明 即 称随机区间 为未知参数  的置信度为0.95的置信区间. 0.95 5 1 1.96 5 1 1.96  =      P X −    X + 1.96 0.05 5 1 =            X −  P       − + 5 1 , 1.96 5 1 X 1.96 X

置信区间的意义 反复抽取容量为5的样本,都可得到 个区间,此区间可能包含也可能不包含未知 参数的真值,而包含真值的区间占95% (x-19(%,x+1%)的置信区间 x-196 的置信下限 X+1.96 .的置信上限 1-c 置信度

ch7-71 反复抽取容量为5的样本,都可得到一 个区间,此区间可能包含也可能不包含未知 参数  的真值, 而包含真值的区间占95%. ) 5 , 1.96 1 5 ( X −1.96 1 X + 5 1 X −1.96 5 1 X +1.96 1− 置信区间的意义  的置信区间  的置信上限 置信度  的置信下限

ch7-72 若测得一组样本值,算得x=1.86 则得一区间(1.86-0.877,1.86+0.877) 它可能包含也可能不包含μ的真值,反复 抽样得到的区间中有95%包含μ的真值 为什么要取zn2? 当置信区间为(ⅹ Ⅹ+ )时 区间的长度为2 / 达到最短

ch7-72 若测得 一组样本值, 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 ) 5 1 , 5 1 ( 2 2 当置信区间为 X − z X + z 时 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 抽样得到的区间中有95%包含  的真值. ?  / 2 为什么要取 z 算得 x =1.86 区间的长度为 5 2 1 2 z —— 达到最短

ch7-73 取a=0.05 n19=196-(-196 =3.92 1.84-(-2.13) =3.97

ch7-73 3.97 1.84 ( 2.13) 3 3 2 1 = − = − − − z  z  3.92 1.96 ( 1.96) 2 2 1 = − = − − − z z  -2 -1 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 3 z 2 3 1  − z -2 -1 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 2 z  2 1  − z 取  = 0.05

h7-74 置信区间的定义 设θ为待估计参数,a是一给定的数, (0<a<1).若能找到两个统计量 1(X12X2,…X,2(X 使得P(G<0<6,)=1-aO∈6 则称随机区间(6,.)为参数O的置信度为 1-c的置信区间,分别称6,为置信下限 与上限,1-a称为置信水平或置信度

ch7-74 设  为待估计参数,  是一给定的数, ( 0 <  < 1). 若能找到两个统计量 ( , , , ) ˆ 2 X1 X2  Xn ˆ ( , , , ),  1 X1 X2  X n  使得 P( ˆ 1     ˆ 2 ) = 1−  Θ 则称随机区间 ) ˆ , ˆ (1  2 为参数  的置信度为 1 -  的置信区间, 1 2 ˆ , ˆ 分别称   为置信下限 与上限, 1 -  称为置信水平或置信度. 置信区间的定义

ch7-75 几点说明 口置信区间的长度B,-B反映了估计精度 ,-6越小,估计精度越高. 口α反映了估计的可靠度,α越小,越可靠. α越小,1-a越大,估计的可靠度越高,但 这时,B2-往往增大,因而估计精度降低 口a确定后,置信区间的选取方法不唯一, 常选最小的一个

ch7-75 ❑  反映了估计的可靠度,  越小, 越可靠. ❑ 置信区间的长度  ˆ 2 − ˆ 1 反映了估计精度  越小, 1-  越大, 估计的可靠度越高,但 这时, 往往增大, 因而估计精度降低. 2 1 ˆ ˆ  − 2 1 ˆ ˆ  − 越小, 估计精度越高. ❑  确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个. 几点说明

h7-76 先 再 求参数保证提高 置信区间可靠性精度

ch7-76 求参数 置信区间 保 证 可靠性 先 提高 精 度 再

h7-77 求置信区间的步骤 口寻找一个样本的函数 g(X,X2…,Xn,θ)—称为枢轴量 它含有待估参数,不含其它未知参数, 它的分布已知,且分布不依赖于待估参 数(常由θ的点估计出发考虑). 例如 ⅹ~N 5 Ⅹ- g(X12X2,…,Xn,p)~N(0,1)

ch7-77 ❑ 寻找一个样本的函数 ( , , , , ) g Xx X2  Xn  它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ).       5 1 X～N , ( , , , , ) ~ (0,1) 5 1 g X1 X2 X N X n   =  −  例如 求置信区间的步骤 — 称为枢轴量