《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第二章 随机变量及其分布（2.4）随机变量函数的分布

Ch290 §24随机变量函数的分布 问题已知随机变量X的密度函数f(x) 或分布律 求随机因变量Y=g(X)的密度函数 f(y)或分布律 方法将与Y有关的事件转化成X的事件

Ch2-90 §2.4 随机变量函数的分布 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数 f Y (y) 或分布律 问题 已知随机变量 X 的密度函数 或分布律 f (x) X

Ch291 离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的分布律为 P(X=Xk)=pk,k=1, 2, 由已知函数g(x)可求出随机变量Y的 所有可能取值,则Y的概率分布为 P(Y=y)=∑P,=12,… k : g(xk=yi

Ch2-91 设随机变量 X 的分布律为 P(X = xk ) = pk , k =1,2,  由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的 所有可能取值，则 Y 的概率分布为 ( ) , 1,2, : ( ) = =  = = P Y y p i k i k g x y i k 离散型随机变量函数的分布

Ch292 例1已知X的概率分布为 X 1012 pk 8842 求Y1=2X-1与Y2=X2的分布律 解y -3 118 13 11 8 42

Ch2-92 例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 2 1 4 1 8 1 8 1 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解 Y 1 pi -3 -1 1 3 2 1 4 1 8 1 8 1

Ch2-92 Y 0 8842 Y 014 131 882

Ch2-93 Y 2 pi 1 0 1 4 2 1 4 1 8 1 8 1 Y 2 pi 0 1 4 2 1 8 3 8 1

Ch2-94 例2已知X的概率分布为 P(X=k=pq,,k=0,1, 2, 其中p+q=1,0<P<1, 求Y=SinX的概率分布 解P(y=0)=P(Ux=2m2 ∑ D pg m=0

Ch2-94 例2 已知 X 的概率分布为 ) , 0,1,2, 2 P(X = k = pq k =  k 其中 p + q = 1, 0 < p < 1, 求 Y = Sin X 的概率分布 解 P(Y = 0)       = =   = ) 2 ( 2 0  m P X m    = = 0 2 m m pq 2 1 q p − =

P(Y=1)=PlUC=2mT+T =Ux=(n+02 =0 ∑ pg pg P(Y=-D)=Pl(X=2mz+ 3 p(UX=4m+32 0 ∑ 4m+3 pg pg = 0 1-q

Ch2-95 P(Y =1)       = = +  = ) 2 ( 2 0  m P X m         = = +  = ) 2 ( (4 1) 0  m P X m    = + = 0 4 1 m m pq 4 1 q pq − = P(Y = −1)       = = +  = ) 2 3 ( 2 0  m P X m         = = +  = ) 2 ( (4 3) 0  m P X m    = + = 0 4 3 m m pq 4 3 1 q pq − =

故Y的概率分布为 Y 0 pi pg pg 1 1 q

Ch2-96 故 Y 的概率分布为 Y pi -1 0 1 4 2 4 3 1 1 1 q pq q p q pq − − −

Ch297 ◎连续性随机变量函数的分布 已知X的密度函数f(x)或分布函数 求Y=g(X)的密度函数 方法 (1)从分布函数出发 (2)用公式直接求密度函数

Ch2-97 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数 方法： （1） 从分布函数出发 （2）用公式直接求密度函数 连续性随机变量函数的分布

例3已知x密度函数为/(,y=ax+b, a,b为常数,且a=0,求F(y) 解 F(y)=P(Y≤y) =P(aX+b≤ 当a>0时, Fr(=PX<-(y-b -Fxl(y-b fy (y=fxl(y=b)

Ch2-98 例3 已知 X 密度函数为 f (x),Y aX b, X = + 为常数，且 a  0, 求 fY ( y ) 解 F ( y) P(Y y) Y =  = P(aX + b  y) 1 ( ) ( ) F y P X y b Y a   =  −           = ( − ) 1 y b a FX 当a > 0 时，       = ( − ) 1 1 ( ) y b a f a f y Y X a,b

当a<0时, F(y)=PX≥(y-b) 1-Fxl(-b) →/()=-f|(m-b) 故()=f(y-b)

Ch2-99 当a < 0 时，       =  ( − ) 1 ( ) y b a FY y P X       = − ( − ) 1 1 y b a FX       = − ( − ) 1 1 ( ) y b a f a f y Y X 故       = ( − ) 1 | | 1 ( ) y b a f a f y Y X