《概率论与数理统计》课程教学资源：第三章习题课

第三章 习题课 多维分布

多维分布 习题课 第章三

二维随机变量的函数的分布 (X, r f(,y)z=ax +br+c k] p.d.f. (x)=1r Cx-C b b 或 z-bv-C f2(2)=-f

2 二维随机变量的函数的分布 (X ,Y) ~ f (x, y) Z = aX +bY +c 的 p.d.f. 或 dx b z ax c f x b f z Z   −       − − = , 1 ( ) y dy a z by c f a f z Z   −       − − = , 1 ( )

3-22 Z轴上 2()Jy(0=)())的分界 10001000 点是如 何得到 2 Vz 的 1000 ∞1000 0 <1 32 10001z 2z△ 2 正确解法 考虑(1)中被积函数为非零情形

3 3-22 dy yz y y 2 2 1000 ( ) 1000 =     −       = =   1 2 1 0 1 1000 2 1000 3 2 2 z z z dy y z ？ 1000 ？ ？ 正确解法 Z 轴上 的分界 点是如 何得到 的？ f Z (z) = y f yz f y dy X Y ( ) ( )   − (1) 考虑(1)中被积函数为非零情形

当/12>100 1000 y> (*)时,fx·fy≠0 y>1000 y>1000 当z1000 <0 10001000 f2(x)= 0<z<1 1000 10001000 1000 (yz) 22≥1

4      1000 1000 y yz 当 ( ) , 0 1000 1000          X Y f f y z 即 y 时 z z y 1000 当0  1时，()的解为  当z 1时，()的解为 y 1000 当z  0时，f X = 0 f Z (z) = 0 f Z (z) = 0 1 2 1000 1 ( ) 1000 1000 2 2   =     dy z yz y y Z 1 2 1000 1 ( ) 1000 2 2 2 1000   =    z z dy yz y y 0 z  0

3-23解法一F(2)=0z<0 F()=PX2+y2<z)= e 2兀 x +y<z 2丌 de e 2o rdi e°r 0 02兀0 2 O 0 e 0 f(z)=F(2)={a2 <0

5 3-23 F z P X Y z e dxdy x y z Z x y  +  − + = +  = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( )    d e rdr r z 2 2 2 2 0 0 2 2 1      −   = e rdr r z 2 2 2 0 2 1   −  = 1 0 2 2 2 = −  − e z z  F (z) = 0 z  0 Z 0 z  0 f Z (z) = FZ (z) = 0 2 2 2 2  − e z z z   解法一

解法二仿书P125的推导,得Z=√X2+y2的 概率密度函数为 2丌 f (z)- zf(z 0)fy(zsin 0)d8 220 <0 2丌 于是f2(z) (cos 8+sin 8) de 02兀a2 从而()=a3m=20 0 <0

6 解法二 仿书P.125 的推导, 得 的 概率密度函数为 2 2 Z = X +Y f Z (z) = ( cos ) ( sin ) 0 2 0   zf z f z d z X  Y    0 z  0 0 2 2 2 2 =  − e z z z   0 z  0 f Z (z) = 0 2 2 2 2  − e z z z  从而  f Z (z) =        z e d z (cos sin ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 − + 于是 

XY独立→X2,Y2独立(其逆不真) 反例 1+xy <1y< (X,X)~f(x,y)=14 其他 0 x<0 xc11+ P(X2≤x)= y d)kh=√x0≤x<1 x≥1 由对称性 0 少<0 P(Y2≤y 0≤y<1 1

7 X,Y 独立 X 2 ,Y 2 独立（其逆不真） 反例 (X,Y) ~ f (x, y) = 1, 1 4 1   + x y x y 0 其他 (  ) = 2 P X x ) 0 1 4 1 ( 1 1 =   +   − − dy du x x x uy x 0 x  0 1 x 1 由对称性 (  ) = 2 P Y y y 0  y 1 0 y  0 1 y 1

0x<0或y<0 0≤x<1,y≥1 P(X2<x, y<y)=y,0sy<1 0≤x<1,0≤y<1 y 1x≥1,y≥1 对一切实数xy恒有 P(x2≤x,y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y

8 (  ,  ) = 2 2 P X x Y y x 0  x 1, y 1 0 x  0或y  0 1 x 1, y 1 y x 1, 0  y 1 xy 0  x 1, 0  y 1 对一切实数 x,y 恒有 (  ,  ) = 2 2 P X x Y y ( ) 2 P X  x ( ) 2 P Y  y