《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第三章 多维分布（3.2）二维随机变量的条件分布

532二维随机变量的条件分布 将条件概率概念推广到随机变量 二维离散rv的条件分布律 设二维离散型r、(X,Y)的分布 P(X=x,, r=y)=pi, i,j=1, 2, 若p.=P(X=x)=∑p>0 则称PX=x,Y=y)pn记作 P(Y=y, X=X) P(X=x, i=1,2 为在X=x;的条件下,Y的条件分布律

§3.2 二维随机变量的条件分布 —— 将条件概率概念推广到随机变量 P(X = xi ,Y = y j ) = pij , i, j =1,2,  设二维离散型r.v.( X ,Y )的分布 若 ( ) 0 1 = = =    = • j i i ij p P X x p 则称 • = = = = i ij i i j p p P X x P X x Y y ( ) ( , ) 为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律j =1,2,  ( ) j i = P Y = y X = x 记作 二维离散 r.v.的条件分布律

若p,=P(Y=y)=∑P>0 则称 P(X=x,, Y i=1 =y)_P记作 P(Y=D)D=PCr=x, r=y) 为在Y=y;的条件下X的条件分布律 类似乘法公式 P(X=X, Y=y)=P(X=X, )P(Y=y,X=x = P(Y=Y,P(X=Y, Y=y,) i,j=1,2

若 ( ) 0, 1 = = =    = • i j j ij p P Y y p 则称 j ij j i j p p P Y y P X x Y y • = = = = ( ) ( , ) 为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律 i =1,2,  ( ) i j = P X = x Y = y 记作 类似乘法公式 ( , ) ( ) ( ) i j i j i P X = x Y = y = P X = x P Y = y X = x ( ) ( ) j i j =P Y = y P X = x Y = y 或 i, j =1,2, 

类似于全概率公式 P(X=x)=∑2=∑P(X=x,y=y,) =∑P(X=xY=y)PY=y) P(Y=y)=∑=∑P(X=x,Y=y) =∑P(Y=yX=x)P(X=x)

类似于全概率公式 ( ) ( , ) 1 1    =  = = = = = = j i j j i ij P X x p P X x Y y ( ) ( ) 1 j j i j = P X = x Y = y P Y = y  = i =1,2,  ( ) ( , ) 1 1    =  = = = = = = i i j i j ij P Y y p P X x Y y ( ) ( ) 1 i i j i = P Y = y X = x P X = x  = j =1,2, 

例1把三个球等可能地放入编号为1,2,3 的三个盒子中,每盒可容球数无限.记X 为落入1号盒的球数,Y为落入2号盒的 球数,求条件分布 P(X=iY=0)i=0,,2,3 P(Y=jX=2)j=0,1

例1 把三个球等可能地放入编号为1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的 球数，求条件分布 j = 0,1 P (X = i | Y = 0 ) P (Y = j | X = 2 ) i = 0,1,2,3 ;

解先求联合分布, P(X=i, Y=j)=P(X=I)P(Y=jX=i) C C 2 j=0,…,3-i;i=0,2,3; 其联合分布与边缘分布如下表所示

解 先求联合分布， P(X = i,Y = j) = P(X = i)P(Y = j X = i) j i j j i i i i C C − − − −        −                   = 3 3 3 3 2 1 1 2 1 3 2 3 1 j = 0,  ,3− i; i = 0,1,2,3; 其联合分布与边缘分布如下表所示

pir 0 2 7 87 9 200 2 191-912 9 2492-91-2 0 0 3 7 787 90029 2 2 7

X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 27 1 27 1 27 1 27 1 9 1 9 1 27 1 0 0 0 9 1 9 1 0 0 9 1 9 1 9 2 0 pi• 27 8 27 8 9 2 9 2 9 4 9 4 1 p• j

由此得条件分布 0123 P(X=iY=0)183/8381/8 0 P(Y=jX

X P(X = iY = 0) 0 1 2 3 1/8 3/8 Y P(Y = j X = 2) 0 1 3/8 1/8 1/ 2 1/ 2 由此得条件分布

例2一射手进行独立射击,已知每次击中目 标的概率为p(0<p<1),射击一直进行到 击中两次目标为止令X表示他首次击中目 标所进行射击的次数,Y表示他总共进行射 击的次数.求X和Y的联合分布律、条件分 布律和边缘分布律 解 (Y=n)第n次击中目标前n-1次恰 有一次击中目标

例2 一射手进行独立射击, 已知每次击中目 标的概率为 p ( 0 < p < 1 ), 射击一直进行到 击中两次目标为止. 令X 表示他首次击中目 标所进行射击的次数, Y 表示他总共进行射 击的次数. 求X 和Y 的联合分布律、条件分 布律和边缘分布律. 解 (Y = n) —— 第n 次击中目标,前 n – 1 次恰 有一次击中目标

故联合分布律为 P(X=m,Y=n=p(1-p) m=1.2…,n-1:n=2.3 (m=1,2,…n=m+1,m+2,…) 边绿分布律为 P(X=m)=∑pm2=P(-p)0 =p(1-p)" n=m+1 1-(1-p) P(=n)=∑2(-p)y2=(n-1)p(1-py2 m= n=2.3

边缘分布律为   = + − = = − 1 2 2 ( ) (1 ) n m n P X m p p m =1,2,   − = − = = − 1 1 2 2 ( ) (1 ) n m n P Y n p p n = 2,3,  1 2 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) − − = − − − − = m m p p p p p 2 2 ( 1) (1 ) − = − − n n p p 故联合分布律为 2 2 ( , ) (1 ) − = = = − n P X m Y n p p m =1,2,  ,n −1; n = 2,3,  (m =1,2, ; n = m +1,m + 2, )

条件分布律为 对每个n,(n=2,3,… P(X=mY=n)= P(X=m,r=n P(r=n p(1-p) (n-1)p(1-p)y2n-1 9-9

条件分布律为 ( ) ( , ) ( ) P Y n P X m Y n P X m Y n = = = = = = m =1,2,  ,n −1 (n = 2,3, ) 1 1 ( 1) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 − = − − − = − − n p p n p p n n 对每个n