《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第三章 多维分布（3.3）随机变量的独立性

Ch3-94 533随机变量的独立性 将事件独立性推广到随机变量 两个rv相互独立性 定义设(XY)为二维r若对任何 实数x,y都有 P(X≤x,sy)=P(X≤x)P(Y≤y) 则称rv.X和Y相互独立

Ch3-94 §3.3 随机变量的独立性 —— 将事件独立性推广到随机变量 设(X,Y )为二维r.v. 若对任何 P(X  x,Y  y) = P(X  x)P(Y  y) 则称r.v. X 和Y 相互独立 两个r.v.相互独立性 实数 x, y 都有 定义

Ch395 由定义知 维rv.(X,Y)相互独立 今F(x,y)=Fx(x)F(y) →Vaa, Y>c)=P(X>aP(>c)

Ch3-95 由定义知 二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立 F(x, y) F (x)F ( y) = X Y ( ) ( ) ( , ) , P a X b P c Y d P a X b c Y d a b c d =            ( , ) ( ) ( ) , P X a Y c P X a P Y c a c R   =    

二维离散rv(XH)相互独立3 P(X=X, Y=y,=P(X=x) P(Y=y, 即P=Pp 二维连型rv(X,Y)相互独立 →今f(x,y)=f(x)(y)(ae 维rv(X,Y)相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布 二维连续rV.(X,Y)相互独立 fr(x)=fxr(xy) (r(v)>O f,(y)=fx(yx)((x)>0)

Ch3-96 二维离散 r.v.( X, Y ) 相互独立 ( , ) ( ) ( ) i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y 即 pij = pi• p• j 二维连型 r.v. ( X, Y ) 相互独立 f (x, y) f (x) f ( y) (a.e.) = X Y 二维连续 r.v. ( X,Y ) 相互独立 f (x) = f (x y) ( f ( y)  0) X X Y Y f ( y) = f ( y x) ( f (x)  0) Y Y X X 二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布

命题(X,Y)~N(A1,o2,p)相互独立 p=0 证一对任何x,y有 1「(x-32my2)(y)2 2(1-p 2n01O21-p (x-H1 y-l2 2 √兀o √2nO2 取 x=11,y=

Ch3-97  = 0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 2 ( ) 1 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1                    − − − −       − + − − − − − − = − x y x x y y e e e 证 对任何 x,y 有 1 2 取 x =  , y =  ( , ) ~ ( , ; , ; ) 2 2 2 2 命题 X Y N 1 1    相互独立

Ch3-98 2n0G,1P3s1 2O1√2丌O2 故P=0 一将ρ=0代入f(x,y)即得 f(x,y)=f(xf(y

Ch3-98 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1      = − 故  = 0 将  = 0 代入 f (x, y) 即得 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y

Ch3-99 例1已知(X,Y)的联合df为 (1)f1(x,y)= 4xy,0<x<10<y<1 其他 (2)f(x,y)= 8xy,0<x<y,0<y<1 0, 其他 讨论X,Y是否独立?

Ch3-99 例1 已知 ( X, Y ) 的联合d.f.为        = 0, 其他 4 , 0 1,0 1 ( , ) 1 xy x y (1) f x y        = 0, 其他 8 , 0 ,0 1 ( , ) 2 xy x y y f x y (2) 讨论X ,Y 是否独立？

Ch3-100 解 (1)由图知边缘d数为 2x,0<x<1 f(x= 0,其他 2y,0<y<1 fo= 0,其他 显然 f(r,y=fr(xfr 故X,Y相互独立

Ch3-100 解 (1) 由图知边缘 d.f.数为 1 1      = 0, 其他 2 , 0 1, ( ) x x f x X      = 0, 其他 2 , 0 1, ( ) y y f y Y 显然， ( , ) ( ) ( ) 1 f x y f x f y X Y = 故 X ,Y 相互独立

Ch3-101 (2)由图知边缘d为 4x(1-x2),0<x<1, f(x)= 0. 其他 4y2,0<y<1 f(y)= 0,其他 显然, f2(x,y)≠fx(x)(y) 故X,Y不独立

Ch3-101 (2) 由图知边缘d.f.为    −   = 0, 其他 4 (1 ), 0 1, ( ) 2 x x x f x X      = 0, 其他 4 , 0 1, ( ) 3 y y f y Y 显然， ( , ) ( ) ( ) 2 f x y f x f y  X Y 故 X ,Y 不独立 1 1

Ch3-102 判断连续型二维rv相互独立的 两个重要结论 设f(xy)是连续二维随机变量(X,Y)的联合 密度函数,r(x,g()为非负可积函数且 f(r,y=r(xg()(ae) 则(X,Y)相互独立 且 r(x X X + (a.e.) trax f()=8() ae +oO g(ydj

Ch3-102 判断连续型二维 r.v.相互独立的 两个重要结论 设f (x,y)是连续二维随机变量(X ,Y )的联合 密度函数, r (x), g(y)为非负可积函数, 且 f (x, y) = r(x)g(y) (a.e.) 则(X ,Y )相互独立 且 ( . .) ( ) ( ) ( ) a e r x dx r x f x X  + − = ( . .) ( ) ( ) ( ) a e g y dy g y f y Y  + − =

Ch3-103 利用此结果不需计算即可得出(1)中的随机 变量X与Y是相互独立的 再如服从矩形域{xyax<b,c<yd}上 均匀分布的二维随机变量(X,Y) a<x<oc<y< f(,y)=(b-a)(d-c 其他 X,Y是相互独立的.且其边缘分布也是均匀 C<V< f1(x)={b-a a<x<b f1(y)={d-c 0.其他 0,其他

Ch3-103 利用此结果,不需计算即可得出(1)中的随机 变量 X 与Y 是相互独立的. 再如, 服从矩形域{(x,y)| a<x<b, c<y<d}上 均匀分布的二维随机变量( X ,Y ),         = − − 0 其他 , ( )( ) 1 ( , ) a x b c y d f x y b a d c X ,Y 是相互独立的. 且其边缘分布也是均匀分布       = − 0, 其他 , 1 ( ) a x b f X x b a       = − 0, 其他 , 1 ( ) c y d d c f y Y