《蒙特卡罗方法》第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用

第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 蒙特卡罗方法求积分 2.重要抽样 3.俄国轮盘赌和分裂 4.半解析方法 5.系统抽样 6.分层抽样

第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 1. 蒙特卡罗方法求积分 2. 重要抽样 3. 俄国轮盘赌和分裂 4. 半解析方法 5. 系统抽样 6. 分层抽样

第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用 领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡 罗方法的各种基本技巧,而这些技巧在粒子输 运问题中也是适用的

第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用 领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡 罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输 运问题中也是适用的

1.蒙特卡罗方法求积分 蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下:任何一个 积分,都可看作某个随机变量的期望值,因此,可以 用这个随机变量的平均值来近似它

1. 蒙特卡罗方法求积分 蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个 积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以 用这个随机变量的平均值来近似它

设欲求积分 8=L G(P)dP 其中,P=P(x1,x2,…,x)表示s维空间的点,V表 示积分区域。取,上任一联合概率密度函数∫(P),令 g(P)=G(P)/f(P) 0= g(P)/(P)dP=Elg(PI 即θ是随机变量g(P的数学期望,P的分布密度函数为 ∫(P)。现从∫(P)中抽取随机向量P的N个样本: P,i=1,2,,N,则 8x=1∑g(P) 就是θ的近似估计

设欲求积分 其中，P＝P(x1，x2，…，xs ) 表示 s 维空间的点，Vs表 示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令 则 即θ是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分布密度函数为 f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本： Pi，i＝1，2，…，N， 则 就是θ的近似估计。  = Vs  G(P)dP g(P) = G(P) f (P) g(P) f (P)dP Eg(P) Vs = =   = = N i N g i N g 1 ( ) 1 ˆ P

2.重要抽样 1)偏倚抽样和权重因子 取V上任一联合概率密度函数f(P),令 g,(P)=g(P).w(P) w(P)=f(Pf(P) 则有 8(P)(P)P=E(P) 现从f(P)中抽样N个点:P,i=1,2,…,N,则 81=∑:P) N i=1 就是θ的又一个无偏估计

2. 重要抽样 1) 偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1 (P)，令 则有 现从 f1 (P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则 就是θ的又一个无偏估计。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 P P P P P P W f f g g W = =  ( ) ( )  ( ) g1 P f 1 P dP E g1 P Vs = =   = = N i N g i N g 1 1 1 ( ) 1 ˆ P

2)重要抽样和零方差技巧 egf (p 8:(P)(PP-02 要使σ最小,就是使泛函极小。 利用变分原理,可以得到最优的f(P为 f(P) g(plf(P) I g(p)lf(pdP

2) 重要抽样和零方差技巧 要使 最小，就是使泛函I[f1] 极小。 利用变分原理，可以得到最优的 f1 (P) 为     2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1      = − = − = − = −   d I f f g f E g g f d s s V V g P P P P P P P P 2 g1   = Vs g f d g f f P P P P P P | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) ( ) 1

特别地,当g(P≥0时,有 f(P) g(P)f(p) g(pf(p) g(Pf(P)dP 这时 0 即g1的方差为零。实际上,这时有 g1(P=g(P)f(P)dP=0 不管那种情况,我们称从最优分布fP)的抽样为重要 抽样,称函数8(P为重要函数

特别地，当 g(P)≥0 时，有 这时 即 g1的方差为零。实际上，这时有 不管那种情况，我们称从最优分布 f l (P)的抽样为重要 抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。 0 2 1  g =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P P P P P P P P g f g f d g f f Vs = =  = = Vs g1 (P) g1 (P) f 1 (P)dP

3.俄国轮盘赌和分裂 )分裂 设整数n1,令 g(P)=8(P)/n 0, 8,(P)f(P)dP (P)(P)P=∑ 于是计算θ的问题,可化为计算n个9,的和来得到,而 每个g(P)为原来的估计g(P的1n,这就是分裂技

3. 俄国轮盘赌和分裂 1) 分裂 设整数 n≥1，令 则 于是计算θ的问题，可化为计算 n 个θi的和来得到，而 每个 gi (P) 为原来θ的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技 巧。  = = Vs i i i g f d g g n P P P P P ( ) ( ) ( ) ( )   = = = n i i Vs g f d 1  (P) (P) P 

2)俄国轮盘赌 令0<q<1, g(P)f(PdP 6=q6+(1-q)0 于是θ变为一个两点分布的随机变量的期望值, 的特性为: P(s=6)=q P(s=0)=1-q 这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ,这就是 俄国轮盘赌

2) 俄国轮盘赌 令 0 ＜ q＜1， 则 于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值， ζ的特性为： 这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，这就是 俄国轮盘赌。  = Vs q g f d q (P) (P) P 1   = q  q + (1− q)0 P q P q q = = − = = ( 0) 1 ( )   

3)重要区域和不重要区域 我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区 域,或感兴趣的区域;称对积分θ贡献小的区域为不 重要区域,或不感兴趣的区域。 考虑二重积分 O=‖g(x,y)f(x,y)xdy 令R是2上x的积分区域,表为R=R1+R2,其中R1是 重要区域,R2是不重要区域,两者互不相交。又命Q 为V2上相应于y的积分区域。则 f(x,y)=f2(y/x)·f(x) 0 JR O(x, y)f2(/x)dy f(x)dx

3) 重要区域和不重要区域 我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区 域，或感兴趣的区域；称对积分θ贡献小的区域为不 重要区域，或不感兴趣的区域。 考虑二重积分 令R是V2上 x 的积分区域，表为 R＝R1+R2，其中R1是 重要区域，R2是不重要区域，两者互不相交。又命Q 为V2上相应于 y 的积分区域。则  = 2 ( , ) ( , ) V  g x y f x y dxdy         = =  R Q g x y f y x dy f x dx f x y f y x f x ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 