《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第七章 参数估计（7.2）点估计的评价标准

Ch7-46 §7.2点估计的评价标准 对于同一个未知参数不同的方法得到 的估计量可能不同于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? (1)无偏性 常用 标准(2)有效性 3)一致性

Ch7-46 §7.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性

n7-4 无偏性 定义设(X1,X2…,Xn)是总体X的样本 0=0(X1,x2,…,Xn)是总体参数O的估计量 --1 E()存在且对于任意∈⊙都有 E()=6 则称O是的无偏估计量

Ch7-47 E( ˆ ) = 定义 设 ( , , , ) X1 X2  Xn 是总体X 的样本 ˆ (X1 , X2 ,  , Xn ) 是总体参数的估计量   = 则称  ˆ 是 的无偏估计量. ) 存在, ˆ E( 且对于任意  Θ 都有 无偏性

Ch7-48 例1设总体Y的k阶矩4=E(X)存在 (X1,X2…,Xn)是总体Y的样本, 证明:不论X服从什么分布,A=∑X 是μk的无偏估计量. 证由于E(x4)=Aki=1,2…,n因而 E(4)=E(∑X)=∑E(x) h:1k=1

Ch7-48 ( , , , ) X1 X2  Xn 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布, = = n i k k Xi n A 1 1 是 k 的无偏估计量. 证   = = = = n i k i n i k k i E X n X n E A E 1 1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( 例1 设总体X 的 k 阶矩 ( ) k k = E X 存在 由于 E(Xi k ) = k i = 1,2,  , n 因而 k k n n =   =  1

Ch7-49 特别地 样本均值ⅹ是总体期望F(X)的 无偏估计量 样本二阶原点矩4=∑是总体 二阶原点矩p2=E(X2)的无偏 估计量

Ch7-49 特别地 样本二阶原点矩 = = n i Xi n A 1 2 2 1 是总体 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量 二阶原点矩 2 = E(X 2 ) 的无偏 估计量

Ch7-50 例2设总体ⅹ的期望与方差存在,X的 样本为(X,X2…,X)(n>1).证明 (1)S2=∑(x-x不是D(X)的无偏估量 (2) yn ∑(X-是D(X)的无偏估计量. 证前已证∑(X-X)=∑x2-x2 1 E(X1)=E(X)=4,D(X)=D(x)=a2 E(X)=B(X)=,m

Ch7-50 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 ( , , , ) 样本为 X1 X2  Xn (n > 1) . (1)  不是 D( X )的无偏估量; = = − n i n Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 (2)  是 D( X ) 的无偏估计量. = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 证 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 X X n X X n n i i n i  i − =  − = = 前已证 证明 2 E(Xi ) = E(X ) =  , D(Xi ) = D(X ) =  n E X E X D X 2 ( ) ( ) , ( )  = =  =

Ch7-51 因而 E|∑(x-x)|=∑E(x)-E(x2 (2+2) 刀-1 O≠o 故E∑(x,-x)|=02证毕 i=1

Ch7-51 ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 E X E X n X X n E n i i n i i  = −       −  = = 因而 ( ) ( ) 2 2 2 2   =  +  − + n 1 2 2    − = n n 2 1 2 ( ) 1 1  =       − − = n i Xi X n 故 E 证毕

Ch7-52 例3设(X12X2…X)是总体x的一个样本 XB(m,p)n>1,求p2的无偏估计量 解由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质,只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数,然后用样 本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令X=E(X)=1p 2X=E(X)=(np)+np(1-p)

Ch7-52 例3 设 ( , , , ) X1 X2  X m 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n > 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质, 只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样 本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令 X = E(X) = np( ) ( ) (1 ) 1 2 2 1 2 X E X np np p m m i  i = = + − =

Ch7-53 故(-B21 x2- 11 因此,p2的无偏估计量为 ∑X2-x M-nm石 ∑X(X1-1) 7(n-1)

Ch7-53       − − = =  X X n n m p m i i 1 2 2 2 1 1 因此, p 2 的无偏估计量为 ( 1) ( 1) 1 1 − − = = n n X X m m i i i 故 X X m n n p m i − =  i − =1 2 2 1 2 ( )

例4设总体X的密度函数为 Ch7-54 f(x)=10 O>0为常数 0 x<0 X,X2…,X)为X的一个样本 证明ⅹ与nmn{X1,2…x}都是的无偏 估计量 证X~E E(X)=6 故E(X)=E(X)=O ⅹ是的无偏估计量

Ch7-54 例4 设总体 X 的密度函数为        = − 0 0 0, 1 ( ; ) x e x f x x      0 为常数 ( , , , ) X1 X2  Xn 为 X 的一个样本 证明 X 与 min{ , , , } n X1 X2  Xn 都是  的无偏 估计量 证    =      ( ) 1 X ~ E E X 故 E(X ) = E(X ) =  X 是 的无偏估计量

Z=min{X1,X2,…,Xn} F2(z)=1-P(X1>z,2>2,…,Xn>z) 1-P(XI>ZP(X2>z).P(Xn>Z z<0 =1-∏(-Px≤)=, z20 0 <0 f2(2)={n ≥0 6 即Z~E E(Z) 6 E(nz=8 故nZ是θ的无偏估计量

Ch7-55 min{ , , , } 令 Z = X1 X2  Xn       = − 0 0 0 ( ) e z n z f z n z Z   即 n E Z n Z E    =      ~ ( )     −   = − 1 0 0 0 e z z nz  E(nZ) = 故 n Z 是 的无偏估计量. 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 P X z P X z P X z = −    n  = = − −  n i i P X z 1 1 (1 ( )) ( ) 1 ( , , , ) 1 2 F z P X z X z X z Z = −    n 