沈阳师范大学：《小学数学思想方法》课程教学课件（PPT讲稿）第13周 知识点3 反证法 知识点4 假设法 知识点5 穷举法 知识点6 数学思想方法的综合应用

知识点3反证法一、对反证法的认识反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个命题为真时先假设这个命题为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题应为真，这样的证明方法叫做反证法。反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真

知识点3 反证法 一、对反证法的认识 反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个命题为真时， 先假设这个命题为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假 设错误，从而证明了原命题应为真，这样的证明方法叫做反证法。反 证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判 断不可能同假，其中必有一真

如前所述，《标准（20u版）》提出了培养学生推理能力和逻辑思维能力的要求。反证法是从另一个角度利用推理进行证明的思想方法，无疑也是培养学生推理能力的重要的思想方法。因此，它的重要性也是不言而喻的。另外，反证法虽然有一定难度，但是它对于培养学生思维的灵活性和解快问题的能力也有益处

如前所述，《标准(20u版)》提出了培养学生推理能力和逻辑思维能 力的要求。反证法是从另一个角度利用推理进行证明的思想方法，无 疑也是培养学生推理能力的重要的思想方法。因此，它的重要性也是 不言而喻的。另外，反证法虽然有一定难度，但是它对于培养学生思 维的灵活性和解决问题的能力也有益处

二、反证法的应用反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题如证明是无理数，证明素数有无限多个等。小学数学中，反证法的应用不多，在抽屉原理等问题中有一些渗透

二、反证法的应用 反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和 其他 学科中也有应用。数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题， 如证明是无理数，证明素数有无限多个等。小学数学中，反证法的应 用不多，在抽屉原理等问题中有一些渗透

三、反证法的教学反证法在小学数学教学中应用较少，教师在教学时应注意以下几点。第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。反证法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。它的证明步骤大致如下：（1）假设待证的结论为假、反论题为真：（2）从反论题出发，经过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等矛盾；（3）根据排中律得出原结论成立

三、反证法的教学 反证法在小学数学教学中应用较少，教师在教学时应注意以下几点。 第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。反证法采用的论证方式是 演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。它的证明步骤大致如 下：(1)假设待证的结论为假、反论题为真；(2)从反论题出发，经过正 确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等矛盾 ；(3)根据排中律得出原结论成立

第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。在描述一对概念间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。如“是与不是”“等于与不等于”“大于与不大于”、“至少有一个与一个也没有”等是相互矛盾的关系。有时候要注意容易出现错误的地方，如“大于5与小于5”“正数与负数”等不是相互矛盾的关系，是一种对立关系。也就是说，两个矛盾的种概念外延之和等于届概念的外延，两个对立的种概念的外延之和小于属概念的外延。大于与小于中间有等于、正数和负数中间有0。大于5与不大于（小于等于）5、正数与非正数（0和负数）才是矛盾关系

第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。在描述一对概念 间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。如“是与不是”、“等于与不 等于”、“大于与不大于”、“至少有一个与一个也没有”等是相互矛盾的 关系。有时候要注意容易出现错误的地方，如“大于5与小于5”、“正数 与负数”等不是相互矛盾的关系，是一种对立关系。也就是说，两个矛 盾的种概念外延之和等于届概念的外延，两个对立的种概念的外延之 和小于属概念的外延。大于与小于中间有等于、正数和负数中间有0。 大于5与不大于(小于等于)5、正数与非正数(0和负数)才是矛盾关系

第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。作为教师而言，要掌握反证法的基本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科学性。学生通过简单的案例和运用反证法通俗易懂的推理过程，能够了解反证法的基本思想和数学方法的丰富性，培养思维的灵活性

第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。作为教师而言，要掌握 反证法的基本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科 学性。学生通过简单的案例和运用反证法通俗易懂的推理过程，能够 了解反证法的基本思想和数学方法的丰富性，培养思维的灵活性

典型例题例题1把43人分成7个小组，总有一个小组至少有？?人。请说明理由

典型例题 例题1 把43人分成7个小组，总有一个小组至少有?人。请说明理由

典型例题例题2把11个参加活动的名额分配给6个班，每班至少分配1人。请说明不管怎样分，至少有3个班的名额相等

典型例题 例题2 把11个参加活动的名额分配给6个班，每班至少分配1人。请说 明：不管怎样分，至少有3个班的名额相等

典型例题例题3在直角三角形ABC中，LC是直角，请说明：ZA一定是锐角

典型例题 例题3 在直角三角形ABC中，∠C是直角，请说明：∠A一定是锐角

知识点4假设法一，对假设法的认识假设法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。假设法是小学数学中比较常用的方法，实际上也是转化方法的一种。假设法实际上是根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据的改变，把原问题转化成新的问题，而且新的问题易于理解和解决是一种迁回战术，表面上看解题的步骤变多了，但实际上退一步海阔天空，更有利手计算和推理，有利于培养学生灵活的思维方式、解决问题的能力和推理能力

知识点4 假设法 一、对假设法的认识 假设法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的 数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行 修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。假设法是小学数学 中比较常用的方法，实际上也是转化方法的一种。 假设法实际上是根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据 的改变，把原问题转化成新的问题，而且新的问题易于理解和解决， 是一种迂回战术，表面上看解题的步骤变多了，但实际上退一步海阔 天空，更有利于计算和推理，有利于培养学生灵活的思维方式、解决 问题的能力和推理能力