沈阳师范大学：《小学数学思想方法》课程教学课件（PPT讲稿）第9周 知识点5 数形结合思想 知识点6 几何变换思想

知识点5数形结合思想一、对数形结合思想的认识数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形主要是指儿何图形和函数图象等

知识点5 数形结合思想 • 一、对数形结合思想的认识 • 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问 题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学 ，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转 化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里 的形主要是指几何图形和函数图象等

在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标（有序实数对）来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现

• 在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工 具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平 面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序 实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的 性质，堪称数形结合的完美体现

数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简洁，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析儿何的代数方法有时就比较简便

• 数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是 要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时 候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题 有时用图象解决非常简洁，几何证明问题在初中是难点，到高中运 用解析几何的代数方法有时就比较简便

数形结合思想与几何直观既有联系又有区别，数形结合包含两个方面：以形助数和以数解形，而几何直观是指利用图形描述和分析问题，这里的问题不仅包括几何以外的问题，也包括几何问题本身如利用图形的运动去认识和理解几何图形也是几何直观

• 数形结合思想与几何直观既有联系又有区别，数形结合包含两个方 面：以形助数和以数解形，而几何直观是指利用图形描述和分析问 题，这里的问题不仅包括几何以外的问题，也包括几何问题本身， 如利用图形的运动去认识和理解几何图形也是几何直观

数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简洁化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法

• 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简 洁化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就 能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题 的方法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难人微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题：教材的编排和课堂教学都在干方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。因此，数形结合思想在小学数学中的意义重大

• 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难人微。”这句 话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周 知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的 抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象 的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的 图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。 • 因此，数形结合思想在小学数学中的意义重大

如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观祭看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数

• 如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理 解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知 识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就 需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和 面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数

二、数形结合思想的应用数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数

• 二、数形结合思想的应用 • 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形： • 一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性， 可称之为“以数解形”； • 二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之 为“以形助数

数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下几个方面：（1）实数与数轴上的点的对应关系（2）函数与图象的对应关系（3）曲线与方程的对应关系：（4）与几何有关的知识，如三角函数、向量等：5）概率统计的图形表示；（6）在数轴上表示不等式的解集；（7）数量关系式具有一定的几何意义，如s=100t

• 数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下几个方面： • (1)实数与数轴上的点的对应关系； • (2)函数与图象的对应关系； • (3)曲线与方程的对应关系； • (4)与几何有关的知识，如三角函数、向量等； • 5)概率统计的图形表示； • (6)在数轴上表示不等式的解集； • (7)数量关系式具有一定的几何意义，如s=100t

数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面：一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系

• 数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和 广泛的应用，主要体现在以下几个方面： • 一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决 问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮 助学生理解实际问题的数量关系