沈阳师范大学：《小学数学思想方法》课程教学课件（PPT讲稿）第6周 知识点1 归纳思想 知识点2 类比思想

知识点1归纳思想一、对归纳推理的认识1、归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳推理往往是在人们实践经验的基础上得出结论的，如通过观察、实验、比较分析、综合，形成对思维对象的共性认识，最后归纳结论

知识点1 归纳思想 一、对归纳推理的认识 1、归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对 象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳 推理往往是在人们实践经验的基础上得出结论的，如通过观察、实验、比较、 分析、综合，形成对思维对象的共性认识，最后归纳结论

知识点1归纳思想一、对归纳推理的认识2、归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。如根据铁、铜、锡、铅等几种金属导电的特殊性质，归纳出所有金属都导电的一般性结论，就是运用了归纳法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的

知识点1 归纳思想 一、对归纳推理的认识 2、归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事 物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种 性质的一般性结论的推理方法。如根据铁、铜、锡、铅等几种金属导电的特 殊性质，归纳出所有金属都导电的一般性结论，就是运用了归纳法。完全归 纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的

知识点1归纳思想一、对归纳推理的认识3、不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法，依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。数学归纳法是一种特殊的数学推理方法，从表面上看并没有考察所有对象，但是根据自然数的性质，相当于考察了所有对象，因而数学归纳法实际上属于完全归纳推理

知识点1 归纳思想 一、对归纳推理的认识 3、不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质， 推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法，依据该方法得到的结 论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。数学归纳法是一种 特殊的数学推理方法，从表面上看并没有考察所有对象，但是根据自然数的 性质，相当于考察了所有对象，因而数学归纳法实际上属于完全归纳推理

本节内容如不作特殊说明，所讨论的归纳法是不完全归纳法。归纳法有助于发现并提出问题，进行大胆猜想，数学史上有很多著名的问题都是这样被提出来的，如哥德巴赫猜想、费马猜想、地图的四色猜想等。哥德巴赫通过观察几组加法算式，发现这些大于或等于6的偶数等于两个奇素数之和：6=3+38=3+5，10=3+7,12=5+7,14=7+7，..*

本节内容如不作特殊说明，所讨论的归纳法是不完全归纳法。 归纳法有助于发现并提出问题，进行大胆猜想，数学史上有很多著名 的问题都是这样被提出来的，如哥德巴赫猜想、费马猜想、地图的四 色猜想等。哥德巴赫通过观察几组加法算式，发现这些大于或等于6的 偶数等于两个奇素数之和： 6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7

于是他大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇素数之和那么这个猜想是否正确呢？二百多年来很多数学家进行丁不懈的努力而且取得了很大进展。如最著名的就是我国数学家陈景润已经证明了“任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个不超过2个素数的乘积之和”，创造了距离摘取这颗数论皇冠上的明珠只有一步之遥的辉煌归纳也被看做数学探索和发现过程中一种特别重要的方法。大数学家高斯曾经说过，“许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续”。事实上，受小学生知识经验和认知水平的限制，小学数学中大部分知识的形成和建立都离不开归纳（主要是不完全归纳）。这其中包括概念的抽象、计算方法的概括、数学规律和数学关系的发现，等等

于是他大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇素数之和。 那么这个猜想是否正确呢?二百多年来很多数学家进行丁不懈的努力， 而且取得了很大进展。如最著名的就是我国数学家陈景润已经证明了 “任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个不超过2个素数的乘积 之和”，创造了距离摘取这颗数论皇冠上的明珠只有一步之遥的辉煌。 归纳也被看做数学探索和发现过程中一种特别重要的方法。大数学家 高斯曾经说过，“许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手 续”。事实上，受小学生知识经验和认知水平的限制，小学数学中大 部分知识的形成和建立都离不开归纳(主要是不完全归纳)。这其中包括 概念的抽象、计算方法的概括、数学规律和数学关系的发现，等等

二、归纳推理的应用归纳法作为一般的合情推理方法，在日常生活中有很多应用，如人们根据长期的生活实践，总结出了很多有用的生活经验，这种经验的获得，往往运用了归纳法。举例来说，某人在连续几个晚上喝绿茶后，会出现兴奋不易入睡的状况，由此可以归纳出：这个人对绿茶比较敏感。易导致兴奋，不适合在睡眠之前饮绿茶

二、归纳推理的应用 归纳法作为一般的合情推理方法，在日常生活中有很多应用，如 人们根据长期的生活实践，总结出了很多有用的生活经验，这种经验 的获得，往往运用了归纳法。举例来说，某人在连续几个晚上喝绿茶 后．会出现兴奋不易入睡的状况，由此可以归纳出：这个人对绿茶比 较敏感。易导致兴奋，不适合在睡眠之前饮绿茶

归纳法除了在生活中有广泛应用外，无论在小学还是在中学都有着广泛的应用，归纳法作为数学发现的一种重要方法，在小学数学的探究学习和再创造学习中应用更为广泛。尤其是小学数学，一些公式法则、性质、规律等的获得往往是通过几个特殊例子归纳的。不完全归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多运算法则公式、定律等的推导，都是在例举几个特殊例子的基础上得出的。如根据40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等几个有限的例子，得出加法交换律。数学课程标准特别强调培养学生探索图形和数的排列规律，探索规律的过程就是一个应用不完全归纳法的过程

归纳法除了在生活中有广泛应用外，无论在小学还是在中学都有 着广泛的应用，归纳法作为数学发现的一种重要方法，在小学数学的 探究学习和再创造学习中应用更为广泛。尤其是小学数学，一些公式、 法则、性质、规律等的获得往往是通过几个特殊例子归纳的。不完全 归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多运算法则、 公式、定律等的推导，都是在例举几个特殊例子的基础上得出的。如 根据40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等几 个有限的例子，得出加法交换律。数学课程标准特别强调培养学生探 索图形和数的排列规律，探索规律的过程就是一个应用不完全归纳法 的过程

小学数学中归纳法的应用主要有以下几个方面（见表3-1）。思想方法知识点应用举例找规律找数列和图形的摄律数计算四则计算法则的总结加法交换律，ath=bta加法结合律：a+h+c=a+（htc)乘法交换律，ab=ha运算定律乘法结合律：(ab)c=a(bc）乘法分配律：c（a+h）=ca+ch归纳法除法商不变的规律小教小数的性质分数分数的基本哇质比和比例比和比例的性质面积长方形而和公式的推导长方体休积公式的推导体积圆柱体积公式的推导圆维体积公式的推导表3-1

小学数学中归纳法的应用主要有以下几个方面(见表3-1)。 思想方法 知识点 应用举例 找规律 找数列和图形的规律 整数计算 四则计算法则的总结 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 运算定律 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：c(a+b)＝ca+cb 归纳法 除法 商不变的规律 小数 小数的性质 分数 分数的基本哇质 比和比例 比和比例的性质 面积 长方形面积公式的推导 长方体休积公式的推导 体积 圆柱体积公式的推导 圆锥体积公式的推导 表3-1

三、归纳推理的教学归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多运算法则、公式、定律等的推导，都是在列举几个特殊例子的基础上得出的。《标准（2011版）》特别强调培养学生探索图形和数的排列规律探索规律的过程就是一个应用归纳法的过程

三、归纳推理的教学 归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多运算 法则、公式、定律等的推导，都是在列举几个特殊例子的基础上得出 的。《标准(2011版)》特别强调培养学生探索图形和数的排列规律， 探索规律的过程就是一个应用归纳法的过程

心理学领域有很多专家学者对小学儿童的归纳推理能力进行了不同方面的研究。林崇德教授根据推理的范围、步骤、正确性和抽象概括性这四项指标把小学儿童运算中归纳推理能力的发展分成如下四级水平：（1）算术运算中直接归纳推理（儿童对6+0=6，8+0=8，19+0=19，归纳为任何数加零等于原来的数”(2)简单文字运算中直接归纳推理（如儿童对一组等式x=y，x+a=y+a，x+b=y+b，x+c=y+c，.归纳为“等式两边加上一个相同的数，仍然相等”）。（3）算术运算中间接归纳推理（如儿童通过多个步骤的分数运算，找出“分数性质（4）初步代数式的间接归纳推理（如儿童通过多次地对两个变量的运算，归纳了y=f(x）的一定函数关系）

心理学领域有很多专家学者对小学儿童的归纳推理能力进行了不同方面的 研究。林崇德教授根据推理的范围、步骤、正确性和抽象概括性这四项指标， 把小学儿童运算中归纳推理能力的发展分成如下四级水平： (1)算术运算中直接归纳推理(儿童对6+0=6，8+0=8，19+0=19，.归纳为 “任何数加零等于原来的数”)。 (2)简单文字运算中直接归纳推理(如儿童对一组等式x＝y，x+a=y+a， x+b=y+b，x+c=y+c，.归纳为“等式两边加上一个相同的数，仍然相等”)。 (3)算术运算中间接归纳推理(如儿童通过多个步骤的分数运算，找出“分 数性质”)。 (4)初步代数式的间接归纳推理(如儿童通过多次地对两个变量的运算，归 纳了y＝f(x)的一定函数关系)