电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 特征函数与极限理论（4.4）大数定律

大数定律 极限理论 在实际应用中,常遇到如下问题 1.现实中为什么大量随机变量服从正态分布? 依据什么来断定一个随机变量服从正态分布? 2.“频率的稳定性”到底是什么意思?在实 际应用中有什么作用? 3在计算机上如何模拟现实研究对象?根据 什么来认定这种模拟是正确的? 14p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 在实际应用中，常遇到如下问题： 1. 现实中为什么大量随机变量服从正态分布？ 依据什么来断定一个随机变量服从正态分布？ 2. “频率的稳定性”到底是什么意思？在实 际应用中有什么作用？ 3.在计算机上如何模拟现实研究对象？根据 什么来认定这种模拟是正确的？…… 极限理论

大数定律 概率为1收敛 强大数定律 依概率收敛 弱大数定律 「依分布收敛中心极限定理 14p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 概率为1 收敛 依概率收敛 依分布收敛 强大数定律 弱大数定律 中心极限定理

大数定律 544大数定律 、弱大数定律 切比雪夫不等式 辛钦大数定律 切比雪夫大数定律 泊松大数定律 伯努里大数定律小概率事件原理 电子科技大学

大数定律 电子科技大学 §4.4 大数定律 切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 伯努里大数定律 小概率事件原理 辛钦大数定律 一 、弱大数定律 泊松大数定律

大数定律 1切比雪夫( Chebyshev)不等式 设随机变量的数学期望E(2和方差 D()都存在则对于任意的E>0,有 P5-B(5)≥6s(5) 或者P5-E(4)a}≥1-0(5) [概率估计]重复试验次数估计 2大数定律的定义 14p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 设随机变量ξ的数学期望E(ξ) 和方差 D(ξ )都存在, 则对于任意的 e > 0, 有 2 ( ) {| ( )| } e    e D P − E   , ( ) {| ( )| } 1 2 e    e D 或 者 P − E   − 概率估计 重复试验次数估计 2 大数定律的定义

大数定律 设ξ,n=1,2.是一个随机变量序列,其数学 期望都存在,若对于任意的E>0,有 imP∑5-∑E(5)ke}=1 i=1 称随机变量序列{n}服从大数定律 思考能否说“∑5依概率收敛于∑E(5) n 服从大数定律的概率意义:{5},k=1,2,的 前n项算术平均将紧密地聚集在其数学期望的 附近 14p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 设ξn，n=1,2…是一个随机变量序列，其数 学 期望都存在，若对于任意的ε ＞ 0，有 ( )| } 1 1 1 lim {| 1 1  −   = = = →   e n i i n i i n E n n P 称随机变量序列{ξn }服从大数定律. 服从大数定律的概率意义：{ξk }，k=1,2…的 前n 项算术平均将紧密地聚集在其数学期望的 附近. 思考 能否说 ( ) . 1 1 1 1 “  依概率收敛于  ” = = n i i n i i E n n  

大数定律 3切比雪夫大数定律 设k=1,2,,是相互独立的随机变量序列, 其数学期望和方差都存在,且存在常数C,使 得 D(9n)p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 3 切比雪夫大数定律 设ξk，k=1,2…是相互独立的随机变量序列, 其数学期望和方差都存在，且存在常数C, 使 得 D(ξn ) < C, k = 1,2,… 则随机变量序列{ξk }, k=1,2…服从大数定律. 证   = = = n i i n i i E n n E 1 1 ( ) 1 ] 1 [   利用切比雪夫不等式证明

大数定律 nc C D5=∑D(5)≤ n 由切比雪夫不等式,对于任意的>0,有 1≥P∑5-∑E n 1ia7s;)￡ D(∑5 ≥1 ≥1 2 →1,(aSn→∞). 14p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 n C n nC D n n D n i i n i  i =   = = = 2 1 2 1 ( ) 1 ] 1 [   由切比雪夫不等式，对于任意的e ＞ 0，有 ( )| } 1 1 1 {| 1 1   −    e = = n i i n i i E n n P 1 1, ( ). 2 → →  e  − as n n C 2 1 ) 1 ( 1 e  =  − n i i n D

大数定律 推论设张,k=1,2.是相互独立且同分布的随机 变量序列,且E(k)=H,D(k)=a,k=12 则{},k=1,2,服从大数定律,即对任意的>0, 有 limP ∑5-k6} n→00 n =1 注为在实际应用中用将大量重复测量值的 算术平均值作为精确值的估计提供了理论依 据 14p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 则 {ξk }, k=1,2…服从大数定律，即对任意的e >0, 有 1 1 P{ 1  −  = = → | } n lim | n k k n   e 注为在实际应用中用将大量重复测量值的 算术平均值作为精确值的估计提供了理论依 据. 推论 设ξk , k=1,2…是相互独立且同分布的随机 变量序列, 且 E(ξk )= , D(ξk )=s 2 , k= 1,2,…

大数定律 4泊松大数定律 设k=1,2,,是相互独立的随机变量序列, Pn=1=Pm, P=0=l-Pm=q 则随机变量序列{},k=1,2…服从大数定律 分析根据切比雪夫大数定理仅需证明存 在常数C,使 D(n)p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 4 泊松大数定律 设ξk，k=1,2…是相互独立的随机变量序列, { 1} , { 0} 1 . P  n = = pn P  n = = − pn = qn 则随机变量序列{ξk }, k=1,2…服从大数定律. 分析 根据切比雪夫大数定理仅需证明存 在常数C，使 D(ξn ) < C, k = 1,2,… , 1,2, 4 1 有 D( n ) = pn (1− pn )  k =

大数定律 5贝努里( Bernulli)大数定律 作为泊松定理的推论贝努里大数定律成立 设,k=1,2…是相互独立同分布的随机 变量序列,P{n=1}=p,P{En=0}=1-p= 随机变量序列{A},k=1,2…!服从大数定律 贝努里大数定律的另一种描述 设是m次重复独立试验中事件A发生的频率 p是事件4在每次试验中发生的概率,则对任意 14p电子科技大学

大数定律 电子科技大学 5 贝努里(Bernulli)大数定律 作为泊松定理的推论贝努里大数定律成立： 设ξk，k=1,2…是相互独立同分布的随机 变量序列, P{ 1} p, P{ 0} 1 p q.  n = =  n = = − = 随机变量序列{ξk }, k=1,2…服从大数定律. 贝努里大数定律的另一种描述： 设 是n次重复独立试验中事件A发生的频率， n m p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意