电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 随机变量的数字特征（3.3）多维随机变量的数字特征

多维随机变量的数字特征 21.2.20 533-34多维随机变量的数号特征 一.多维机变量函数的数学期望 二多维机变量方差和数学期望性质 协方差与相关系数 四n雏随机变量的协方差矩阵

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 §3.3~3.4 多维随机变量的数字特征 一 . 多维随机变量函数的数学期望 二.多维随机变量方差和数学期望性质 三. 协方差与相关系数 四.n 维随机变量的协方差矩阵

多维随机变量的数字特征 21.2.20 一多维随机变量函数的数学期望 与一维随机变量的情形类似,关于多维 随机变量函数的数学期望有以下定理. 定理33.1设随机向量(312…,5m)的分布函 数为F(x1,x2,…,xn),g(x1,x2,…,xn)是 连续函数,则 +op+0 g(x,x,…,x,)F( 9n 19~2 x.)< n 是Eg(51,2,,n存在的充要条件

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 一 . 多维随机变量函数的数学期望 与一维随机变量的情形类似，关于多维 随机变量函数的数学期望有以下定理. 定理3.3.1 设随机向量(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )的分布函 数为 ( , , , ), F x1 x2  xn g(x1 , x2 ,  , xn )是 连续函数，则      +  − +  − +  − ( , , , ) ( , , , )  g x1 x2  xn dF x1 x2  xn 是 ( , , , ) 存在的充要条件. 1 2 n E g    

多维随机变量的数字特征 21.2.20 若期望存在,则 E|g(51,22,…,n) + 1925 ,xnMF(x1,x2,…xn) 着(312…,)是连续型随机变量,则 E|g(51,52,…,5n ∫…8(x,x,…,x,)(x,x,…,x) d x, dx.dx 29

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 ( , , , ) ( , , , ) [ ( , , , )] 1 2 1 2 1 2 n n n g x x x dF x x x E g        + − + − + − =    若(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )是连续型随机变量，则 n n n n dx dx dx g x x x f x x x E g      , ( , , , ) ( , , , ) [ ( , , , )] 1 2 1 2 1 2 1 2    + − + − + − =    若期望存在，则

多维随机变量的数字特征 21.2.20 着(132,3是离散型随机变量,则 Eg(5,,…,5)=∑∑…∑g(x,x}2,…,xm) li,=1 P51=x),52=x2),…,5n=x0) 例331 〖例 3.3.2 例333 二、多雏隴机变量方差和数学期望性质 性质33.1设n维随机变量(1,2,,1的数 学期望E(ξ)都存在,则

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 若(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )是离散型随机变量，则 ( , , , ) [ ( , , , )] ( , , , ) (2) ( ) 2 (1) 1 1 1 1 (1) (2) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 n i i n i i i i n n i i i n n n P x x x E g g x x x  = = = =    =  =  =           例 3.3.1 例 3.3.2 例 3.3.3 二、多维随机变量方差和数学期望性质 性质3.3.1 设n维随机变量(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )的数 学期望E(ξi )都存在，则

多维随机变量的数字特征 21.2.20 (1)线性性质:对任意常数c;(i=1,2,…,n)有 EC∑c15)=∑cE(5) i=1 (2)若512,相互独立,则 n E(I5)=IE(5)自学 证明 ECΣ5)=」(2cxMF(x 9~2 ∑」m 7110飞mVx?“,xn)=∑c;E(5)

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 (1)线性性质：对任意常数ci (i=1,2, …,n)有 ( ) ( ) 1 1   = = = n i i i n i E ci  i c E  (2) 若ξ1 ,ξ2 ,…,ξn相互独立，则 ( ) ( ) 1 1   = = = n i i n i E  i E  证明 ( ) ( ) ( , , , ) 1 2 1 1 n n i i i n i i i E c  c x dF x x  x      + − + − + − = =  = ( , , , ) ( ) 1 1 2 1     = + − + − + − = = = n i i n i i n i ci  x dF x x  x c E  自学

多维随机变量的数字特征 21.2.20 性质3.32设n维随机变量(3132,,k)的方 差D(都存在,则 DO∑5)=∑D(5)+2∑E5-E(川5-E(5 l, ≠ 若51,2…,相互独立,则 ∑5)=∑D(5 证明∵D∑5)=E{∑5-∑E(5)

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 性质3.3.2 设n维随机变量(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )的方 差D(ξi )都存在，则     = = = = + − − n j i i j i i j j n i i n i D i D E E E 1 1 , 1 (  ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]} 若ξ1 ,ξ2 ,…,ξn相互独立，则   = = = n i i n i D i D 1 1 (  ) ( ) 证明 ( ) {[ ( )] } 2 1 1 1    = = = = − n i i n i i n i D  i E  E 

多维随机变量的数字特征 21.2.20 E{(51-E(5)} ∑E5-E(+2∑E5-E(川5-E(册 ≠ 若i=1,,n相互独立,则 E()=E(5)E(;),i≠j →E151-E(川5/-E(5那 =E(55)-E引)E(5)=0,ij 故有D(∑5)=∑D(5) i=1

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 {[ ( ( ))] } 2 1 = = − n i E  i E  i    = = = − + − − n j i i j i i j j n i E i E i E E E 1 , 1 2 {[ ( )] } 2 {[ ( )][ ( )]} 若ξi , i=1,2,…n 相互独立，则 E E E i j ( i  j ) = ( i ) ( j ),  {[ ( )][ ( )]} E i E i j E j  −   −  E E E i j = ( i  j ) − ( i ) ( j ) = 0,    = = = n i i n i D i D 1 1 故 有 (  ) ( )

多维随机变量的数字特征 21.2.20 注将方差性质 D(a)=a2D(2) 应用于性质322,可得讲义P219中公式 (34.5)和(34.6) 思考条件 15525 相互独立”能否减弱? 例334例335例336 例337 练习题

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 思考 条件“ξ1 ,ξ2 ,…,ξn相互独立”能否减弱？ 注 将方差性质 ( ) ( ) 2 D a = a D  例 3.3.4 例 3.3.5 例 3.3.6 应用于性质3.2.2 ，可得讲义P219中公式 （3.4.5）和（3.4.6）. 例 3.3.7 练习题

多维随机变量的数字特征 21.2.20 三协方差与相关系数 下面介绍的协方差、相关系数是描述随 机变量之间相互关系的数字特征 D(3+n)= D()+D()+2E{k-E(3)川-E()} D(3-y)= D()+D(y)-2E{|-E(9|-E()

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 三. 协方差与相关系数 下面介绍的协方差、相关系数是描述随 机变量之间相互关系的数字特征. D(ξ＋η)= D(ξ) ＋D(η)+ 2E{[ξ－E(ξ)][η －E(η)]} D(ξ−η)= D(ξ) ＋D(η)−2E{[ξ－E(ξ)][η －E(η)]}

多维随机变量的数字特征 21.2.20 定义3.3.1若E{k-E(川-E(q)存在 称 Cov(,)=E{|-E()|-E(T) 为随机变量(,)的协方差(二阶混合中心矩) 有D(=Cou(,2) D(士)=D()+D(q)士2Co(3,y) 性质333协方差性质 1对称性Cov(2,)=Cov(,5);

多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 定义3.3.1 若E{[ξ－E(ξ)][η－E(η)]}存在， 称 Cov(ξ,η)=E{[ξ－E(ξ)][η－E(η)]} 为随机变量(ξ,η)的协方差(二阶混合中心矩). 有 D(ξ)= Cov(ξ, ξ )； D(ξ士η)=D(ξ)+D(η)士2Cov(ξ,η ) 性质3.3.3 协方差性质 1) 对称性 Cov(ξ,η )＝ Cov(η,ξ ) ；