电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 随机事件和概率（1.4）条件椰率

条件概率 21.2.20 §1.4条件概率 条件概率 对随机现象的研究中,常遇到另一类概率计算 问题 如:两个足球队比赛的胜负预测 B={中国队上半场负} A={中国队最终获胜} (1)考虑事件A发生的可能性大小? (2)事件B已发生问事件4发生的可能性大小? 电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 §1.4 条件概率 对随机现象的研究中，常遇到另一类概率计算 问题. 如：两个足球队比赛的胜负预测. B={中国队上半场负}， A={中国队最终获胜} (1) 考虑事件A 发生的可能性大小？ 一、条件概率 (2)事件B已发生,问事件A发生的可能性大小？

条件概率 21.2.20 将已知事件B发生的条件下,事件4发生的 可能性的客观度量称为条件概率,记为P(4|B) 例如:m产品抽检试验 定义1.4.1设(92,P是概率空间,A,B∈% 且P(B)>0 P(AB) P4|B)=P(B) 称为已知事件B发生的条件下,事件A发生的 条件概率 1uN电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 例如： 产品抽检试验 将已知事件B 发生的条件下，事件A发生的 可能性的客观度量称为条件概率，记为P(A|B). ( ) ( ) ( ) ˆ P B P AB P A B = 定义1.4.1 设(Ω,F, P)是概率空间，A, B∈F ， 且P(B)>0 称为已知事件B发生的条件下，事件A 发生的 条件概率

条件概率 21.2.20 注条件概率P(4B)与非条件概率P4无必 然的关系(P38) 定理14.1设(g2,%P是概率空间,B∈,且 P(B)>0,则对vA∈,有P(AB)对应集函 数P(B)满足三条公理: 1)A∈9,0≤P(AB)≤1 2)P(g|B)=1 3)A1∈,i=1,2,…,且A1∩A=(≠),则 电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 注 条件概率 与非条件概率P(A)无必 然的关系 （P38）. P(AB) 定理1.4.1 设(Ω,F, P)是概率空间, B∈F ,且 P(B)>0, 则对 , 有 对应,集函 数 满足三条公理:  A P(AB) P(• B) F 1) A F , 0  P(AB)  1; 2) P( B) = 1; 3) Ai  F ,i = 1,2, ,且 Ai  Aj = ,(i  j),则

条件概率 21.2.20 ∪4B|=∑P(4|B) 证∵d∪丿 oO ∪4)∩B=∪(4∩B) i=1 且(4∩B)∩(4nB)cA∩A=i≠j P(CAnB PU( ∪A1B P(B) P(B) P(A∩B) ∑ 1 P(B) ∑P(4|B) 电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 ( ). 1 1   =  = =        i i i P  Ai B P A B 证 ( ) ( ) 1 1 A B A B i i i   i     =  = = A B A B A A i j 且 ( i  ）( j  ） i  j = ，  ( ) ( ( ) ( ) 1 1 1 P B P A B P B P A B P A B i i i i i i         =         =          =  =  =      ( ). ( ) ( ) 1 1    =  = = = i i i i P A B P B P A  B

条件概率 21.2.20 注条件概率是概率,可从两种观点理解: 1)记PB=P(B)则P是可测空间92,%上 的概率对任意A∈ 2(4)≈P(A∩B) P(B) 缩减样 称(929,P)是条件概率空间本空间 2)记91=9B=B,第={mB:C∈男 对任意A∈P(4s(4 P(B) 电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 注 条件概率是概率，可从两种观点理解： 1）记PB= P(·|B）,则PB 是可测空间(Ω,F )上 的概率,对任意A ∈F ( ) ( ) ( ) ˆ P B P A B PB A  = 称(Ω,F , PB )是条件概率空间. 2）记Ω1 =Ω∩B=B， F1 ={C∩B: C∈F } 缩减样 本空间 ( ) ( ) ( ) ˆ P B P A 对任意A∈F 1 PB  A =

条件概率 21.2.20 则P是可测空间(911)上的概率得另一概率 空间(9211,).P B=9 AcQ 令A∩Bc9 电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 则 是可测空间(Ω1 ,F 1 )上的概率,得另一概率 空间(Ω1 ,F 1 , ). PB  PB  B=Ω1 Ω A A  1  AB  

条件概率 21.2.20 性质14.1:设4是概率空间(g,%P)上的正 概率事件,B∈且P(B)>0,则对任意C∈9 有证 P4(C|B)=P(C|A∩B) PA(CB) P4(B∩C)P(B∩C|A) PA(B) P(BA) P(ABC), P(AB P(ABC) =P(CA∩B) P(A P(A P(AB) 1uN电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 性质1.4.1：设A是概率空间(Ω,F, P )上的正 概率事件, B∈F,且PA (B)>0, 则对任意C∈F 有 P (C B) P(C A B) A =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B A P B C A P B P B C P C B A A A   = = 证 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) P C A B P AB P ABC P A P AB P A P ABC = = = 

条件概率 21.2.20 例如m抽签问题 问题(1)判断所求的概率是否是条件概率? (2)判断题目中概率数据是否是条件概率? 解决问题的关键词:远脸、现实可龍。 例如m掷硬币试验 射击试验 电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 例如 抽签问题 问题 (1) 判断所求的概率是否是条件概率？ (2) 判断题目中概率数据是否是条件概率？ 解决问题的关键词：试验、现实、可能。 例如 掷硬币试验 射击试验

条件概率 21.2.20 二、乘法公式 定理14,2设P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(AB) 条件概 若P(A)>0,有 P(AB)=P(A)P(BA 1率定 的改写 更一般地有,若P(A1A2….An1)>0,则 P(4124n14n= P(n)P(21)….P(An41A2…An1) 电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 更一般地有，若P ( A1 A2 … An-1 ) > 0，则 P (A1A2…An-1An) = 若P ( A ) > 0，有 P ( AB ) = P ( A ) P ( B|A ). 条件概 率定义 的改写 P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1 ) 定理1.4.2 设P (B) > 0，则有 P ( AB ) = P (B) P (A|B ) 二、乘法公式

条件概率 21.2.20 注:乘法公式是概率计算中的重要公式务 必分清题目中所给数据是否为条件概率。 例如:m 抽签的公平性 激烈空战 配对问题 1uN电子科技大学

21.2.20 电子科技大学 条件概率 注：乘法公式是概率计算中的重要公式.务 必分清题目中所给数据是否为条件概率. 例如： 激烈空战 抽签的公平性 配对问题