电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 随机变量的数字特征（3.1）数学期望与方差

数学期望和方差 pro ty probability 第三章 随机变量的数宁一特征 pro probability UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 第 三 章 随机变量的数字特征

数学期望和方差 531-32数学期望、方差与矩 53.3-34多维随机变量的数号特征 535条件数学期望 536多维正态随机变量 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 §3.1—3.2 数学期望、方差与矩 §3.3-3.4 多维随机变量的数字特征 §3.6 多维正态随机变量 §3.5 条件数学期望

数学期望和方差 用概率分布描述随机变量的全面情况,但 常常遇到无法确定随机变量的全部取值的统 计规律性,或者根据实际问题的需要,只须 给出随机变量的某些特征。 在本章,从数值的角度定义随机变量的统 计特征,称为随机变量的数字特征 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 用概率分布描述随机变量的全面情况, 但 常常遇到无法确定随机变量的全部取值的统 计规律性, 或者根据实际问题的需要, 只须 给出随机变量的某些特征。 在本章, 从数值的角度定义随机变量的统 计特征, 称为随机变量的数字特征

数学期望和方差 53.1数学期望与方差 随机变量的数学期望 引例 定义3.1.1设ξ是离散型随机变量其分布律为 P{5=x}=P1,i=1,2,3 ●●●● ●● 若∑x;n1<+0则称 E(5)=∑xP1为数学期望均值 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 §3.1 数学期望与方差 定义3.1.1 设ξ 是离散型随机变量,其分布律为 P{ = x } = p , i = 1,2,3....  i i 一 . 随机变量的数学期望 引 例 若  +  则称 +  i=1 xi pi ( ) ( ). 1   为的数学期望均 值 +  = = i E xi pi

数学期望和方差 设连续型随机变量的概率密度为fx) 若称 ∫xf(x)x<+∞ E(5)= xf(x)dx 为ξ的数学期望(均值) 注1随机变量的数学期望是它所有可能取 值的加权平均值,是一个数 注2部分随机变量ξ的数学期望不存在 定义中要求条件无穷级数 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 设连续型随机变量ξ的概率密度为f (x),  +  +  − 若 x f (x)d x 注2 部分随机变量ξ 的数学期望不存在.  +  − 称 E( ) = xf (x)dx 为ξ 的数学期望(均值). 注1 随机变量的数学期望是它所有可能取 值的加权平均值，是一个数. 定义中要求条件无穷级数

数学期望和方差 ∑x;P2 绝对收敛,保证数学期望有唯一的数值. 同样,对连续型随机变量的无穷广义积分 要求绝对收敛也出于相同的考虑。 如果绝对收敛不能得到满足,称随机变量的 数学期望不存在 P195例3113 柯西分布 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 绝对收敛, 保证数学期望有唯一的数值. 同样, 对连续型随机变量的无穷广义积分 要求绝对收敛也出于相同的考虑。 如果绝对收敛不能得到满足, 称随机变量的 数学期望不存在. P195例3.1.13 柯西分布

数学期望和方差 例1.2P(,则E(2)=l; 证明 例2.~B(m,p),则E(3)=mp; 证明 例3.5Nm,s2),则E(=m;「证明 例5.均匀分布E(=(b+a)2 f(x)=b x∈[a,b]; 其它 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 证 明 证 明 例5. 均匀分布      = − 0, . [ , ]; 1 ( ) 其 它 x a b f x b a E(ξ)=(b+a)/2 例1.ξ~P(l) , 则 E(ξ) = l; 证 明 例2. ξ~B(n, p) , 则 E(ξ) = np; 例3. ξ~N(m , s 2 ) , 则 E(ξ) = m ;

数学期望和方差 例6指数分布 E(=2-1 入e >0: f(x) 0,其它”(>0)「证明 例7韦布尔分布 例8/分布自学 例9对数正态分布 llgx-p、2 ge 2 x>0: f(x)=√2ma (a>0,4为常数 x≤0. UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 例6 指数分布 ( 0) 0, . , 0; ( )       = − 其它 e x f x x E(ξ)=λ－1 例7 韦布尔分布 证 明 例8 Γ—分布 例9 对数正态分布 ( 0, ) 0, 0. , 0; 2 lg ( ) 2 ) l g ( 2 1   为常数           = − − x e x x e f x x 自学

数学期望和方差 E(8)=1+lnl0 证明 二隴机变量的方差 数学期望作为数字特征,仅说明了随机变 量的平均特征 平均值不能反映变量取值的其它特点例如 取值的范围、集中程度等. 现引进随机变量的方差描述随机变量取值 的离散程度 「引例 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 ln10 2 2 ( ) 10 +  =   E  证 明 二. 随机变量的方差 数学期望作为数字特征, 仅说明了随机变 量的平均特征. 平均值不能反映变量取值的其它特点, 例如 取值的范围、集中程度等. 现引进随机变量的方差描述随机变量取值 的离散程度. 引 例

数学期望和方差 定义3.12设ξ是离散型随机变量其分布 律为 P{5=x;}=P2,i=1,2,3, 若∑|x,-E(5)21<+记 D(5)=∑|x-E(5)2p =1 称D()为的方差 称a()=√D(2)为的标准差或均方差 注1D(2)≥0 UD) 技大学

数学期望和方差 电子科技大学 定义3.1.2 设ξ 是离散型随机变量,其分布 律为 P{ = x } = p , i = 1,2,3,...  i i 若  −  +  记 +  =1 2 [ ( )] i xi E  pi  +  = = − 1 2 ( ) [ ( )] i D  xi E  pi 称D (ξ)为ξ的方差. 称 ( ) = D( ) 为ξ的标准差或均方差. 注1 D(ξ)0