电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 特征函数与极限理论（4.3）随机变量的收敛性

随机序列的收敛性 54.3随机变量的收敛性 、分布函数弱收敛」 定义4.31对于分布函数列{F(x,如果存在 单调不降函数F(x),使 lim Fn(x)=F(x), n→0 在F(x)的每一连续点成立称F(x)收敛于F(x 记为 W P278 Fn(x)→>F(x) 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 一 、分布函数弱收敛 定义4.3.1 对于分布函数列{Fn (x)},如果存在 单调不降函数F(x),使 lim F (x) F(x), n n = → F (x) F(x). W n → 在F(x)的每一连续点成立,称Fn (x)弱收敛于F(x). 记为 §4.3 随机变量的收敛性 P278

随机序列的收敛性 注1布函数列的极限函数F(x)是有界非降函数 ,但不一定是分布函数 例452 注2下要求在极限函数F(x)的不连续点的收敛性 处处收敛的随机序列也不能满足条件 参见P279例 4.5,3 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 分布函数列的极限函数F(x)是有界非降函数 ，但不一定是分布函数. 注1 例4.5.2 未要求在极限函数F(x)的不连续点的收敛性 ，处处收敛的随机序列也不能满足条件. 注2 参见P279例 4.5.3

随机序列的收敛性 三、连续性定理(列维-克拉美) 连续性定理由正极限定理和逆极限定理组成 正极限定理设分布函数列{F(x)}弱收敛 于某一分布函数F(x),则相应的特征函数列收 敛于特征函数,且在t的任一有限区间内收 敛是一致的 即有 Fn(x)→F(x)→{9n(t)}>9(t)一致成立 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 正极限定理 设分布函数列{Fn (x)}弱收敛 于某一分布函数F(x), 则相应的特征函数列收 敛于特征函数，且在t 的任一有限区间内收 敛是一致的. { (t)}→(t) F (x)→F(x)  n 一致成立. W n 即有 二、连续性定理（列维－克拉美） 连续性定理由正极限定理和逆极限定理组成

随机序列的收敛性 逆极限定理设特征函数列{收于某一函 数,恥(t)在=续则相应的分布函数列 F(x}弱收敛于某一分布函数F(x),而且是 F(的特征函数 在t=0处连续 {φn()}→>p( Fn(x)→>F(x) 连续性定理可用来确定随机变量序列的极 限分布 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 在 0处连续 {φ ( )} ( ) = →  t t t n  F (x) F(x) W n → {φ (t)} n (t) 逆极限定理 设特征函数列 收敛于某一函 数 , 且 在t =0 连续,则相应的分布函数列 {Fn (x)}弱收敛于某一分布函数F(x)，而且 是 F(x)的特征函数. (t) (t) 连续性定理可用来确定随机变量序列的极 限分布

随机序列的收敛性 例4.3.1设随机变量序列12相互独立且 ~P)(k=1,2,) 1)求Vn=的概率分布; k=1 2)证明:当nY Y-E() D(Y 趋于正态分布 解1)g(t)=e- 今q1(t)=Ⅲqk(t)=e n人(e =1 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 例4.3.1 设随机变量序列ξ1 ,ξ2 ,…相互独立,且 ξk ～P( )（k=1,2,…). ( ) ( ) * n n n n D Y Y E Y Y − =  = = n k Yn Xk 1 1) 求 的概率分布; 2) 证明：当 n → 时  , 趋于正态分布. 解1) λ( 1) ( ) − = jt e k  t e λ( 1) 1 ( ) Π ( ) − =  = = jt n n e k n k Y  t  t e

随机序列的收敛性 即Yn~P(m,且E(n)=D(Yn)=mL Y-nA n√n 2)Y的特征函数为 P(t)=epy nt nm(ev-1 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 E(Y ) D(Y ) nλ. 即Y n = n = n ～P(nλ),且     n n Y n Y n Y n n n = − − = * 2) Yn * 的特征函数为       = − λ ( ) λ * n t t e n n Y j n t Y   − λ( −1) =   n jt j n t n e e e

随机序列的收敛性 It nnexp-f j√na e event expan(i+r √m2mλ2n n+0() --+0( 2n2 22 有img,(t)=e2,t∈R n→0 电子科技大学 在t=0连续

随机序列的收敛性 电子科技大学 λ exp λ λ n j t n j n t n e e e  − − = )] 2 λ 2 ( 2 λ 2 λ exp[ (1 λ λ n t o n t n jt n j n t e n e + − + − − =  )] 2 λ ( 2 λ λ[ 2 2 n t o n t n e − + = lim ( ) , . 2 2 * t e t R t Y n n =  − → 有  在t =0 连续 )] 2 ( 2 [ 2 2 t o t e − + =

随机序列的收敛性 由连续性定理的逆定理知当n→趋n 于正态分布N(0,1) 三、随机变量序列的收敛性 定义43.设随机变量序列{n}的分布函数 列{Fx)弱收敛于rv.的分布函数F(x)称{ 依分布收敛于2,记为 5n→>5,aSn→∞ 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 由连续性定理的逆定理知当 趋 于正态分布N(0, 1). * n → ，Yn 三、随机变量序列的收敛性 定义4.3.1 设随机变量序列{ξn }的分布函数 列{Fn (x)}弱收敛于r.v.ξ 的分布函数F(x),称{ξn } 依分布收敛于ξ, 记为 → as n →  W n  

随机序列的收敛性 定义4.3.3设{n},n=1,2,是定义在(92,P 上的随机变量序列,若存在一个随机变量ξ(可以 是常数,使 Plim=5=1 n→ 称随机变量序列{2n}以概率为收敛于,或称 几乎处处收敛于;记为 a. S →>2.或 m 。S n-0 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 定义4.3.3 设{ξn },n=1,2,…是定义在(Ω,F, P) 上的随机变量序列, 若存在一个随机变量ξ (可以 是常数),使 {lim = } = 1 →  n  n P 称随机变量序列{ξn } 以概率为1收敛于ξ，或称 几乎处处收敛于ξ,记为 lim (a.s.) n n  =  → . . .   a s n → 或

随机序列的收敛性 注可证明{o:m5=分}=∩∪∩4m m=1n=1k≥ 其中 k,m={0: 定义4.33设{n},n=1,2,是定义在(92,P) 上的随机变量序列若对V>0, imP(5n-引|≥}=0, n→0 或 iP5n-引<e}=1 n→0 称随机变量序列{n}依概率收敛于,记为 电子科技大学

随机序列的收敛性 电子科技大学 注 可证明     =  =   → = = 1 1 , { :lim } m n k n n k m n    A 其中 } 1 { : , m Ak m =   k −  定义4.3.3 设{ξn }, n=1,2,…是定义在(Ω,F , P ) 上的随机变量序列,若对 ε  0, lim { −  ε} = 0, →  n  n P lin { −  ε} = 1. →  n  n 或 P 称随机变量序列{ξn }依概率收敛于ξ, 记为