电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 随机事件和概率（1.3）概率模型与公理化结构

概率 21.2.20 513概率横型与公理化结构 、可测空间 柯氏公理体系是现代概率论的基石. 从古典概率、几何概率等共有基本属性 出发,抽象并建立概率论的基础理论 回顾古典概率、几何概率的定义,有如下 问题: 对于随机试验E的样本空间是否Ω的每 一个子集(事件)都能确定概率? 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 §1.3 概率模型与公理化结构 一、可测空间 回顾古典概率、几何概率的定义，有如下 问题： 对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每 一个子集(事件)都能确定概率? 从古典概率、几何概率等共有基本属性 出发，抽象并建立概率论的基础理论. 柯氏公理体系是现代概率论的基石

概率 21.2.20 定义1.3.1设随机试验E的样本空间为9,是 Ω的子集组成的集族,满足 (1)9∈ (2)若A∈则A器 (3)A, 败,,n),∪A∈ 称%为代数(体) 若将(3改为 (3)若A4,则2,…),∪A∈ 称%为a-代数(事件体) i=1 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 定义1.3.1设随机试验E 的样本空间为Ω, F是 Ω的子集组成的集族，满足 (2) 若A∈F,则 A F  ; (1) Ω∈F ; (3) 若 A F ,(i 1 则 ,2, n), F , i  =   n i Ai =1  称F 为代数(体). 若将(3)改为 (3′) 若 A F  ,(i = 则 1,2, ), F , i   =  i 1 Ai 称F 为σ-代数(事件体)

概率 21.2.20 注若Ω是有限样本空间,则9的代数 定是σ-代数 Ex1.3.1在编号为1,2,…,n的n个元件中 任取一件 1.考虑元件的编号,则全体基本事件为 Ak={k}(k=1,2,…,n) 样本空间为g={1,2,,n} 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 Ex.1.3.1 在编号为1,2，…, n 的 n个元件中 任取一件. 样本空间为 Ω = {1,2, ,n} A {k} (k 1,2, ,n) k = =  1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为 注 若Ω是有限样本空间，则Ω的代数F 一 定是σ-代数

概率 21.2.20 构造如下事件: A=A∪A k k n A,k,=A1∪Ak∪A,(i,k,S=1,2,…,n) A1,n,n1=A4,∪42…JA 1929 9-9 可验证集族{小,,Ak,A,…,A1} 组成一个-代数 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 构造如下事件: ( , 1,2, , ), Ak,s = Ak  As k s =  n ( , , 1,2, , ) Ai,k,s = Ai  Ak  As i k s =  n ……… ( , , , 1,2, , ) 1 2 1 , , , 1 2 n 1 1 2 1 i i i n A A A A n i i i i i i n      = = − − − { , , , , , } 1 2 1 , , , ,  n− 可验证集族  Ak Ak s  Ai i  i 组成一个σ-代数

概率 21.2.20 2.考虑元件是正品或次品,则基本事件为 A1={取到正品A2={取到次品} 则={41,为个σ代数 通常称%={,A,A,9}是由产生的 最简单σ-代数 设随机试验E的样本空间为92,%是9的全 体子集组成的集族含Ω和q),也是σ代数 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A1={取到正品}, A2={取到次品} { , , ,Ω } 则F =  A1 A 为一个 2 σ代数. . { , , ,Ω } 最简单 代 数 通常称 是 由 产生的 − =  F  A A A 设随机试验E 的样本空间为Ω, F 是Ω的全 体子集组成的集族(含Ω和φ)，F 也是σ-代数

概率 21.2.20 Ex132测量一个零件考虑其测量结果与 实际长度的误差 基本事件为{}样本空间为 C2={x:x∈R1}=R1 则R1的子集全体:单点集{x},一切开的 闭的,半开闭区间等组成的集族是一个σ 代数 另外,若令 A1={x:x≥0}=出现正误差} A2={x:x<0}=出现负误差} 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 Ex.1.3.2 测量一个零件,考虑其测量结果与 实际长度的误差. 基本事件为{x},样本空间为 1 1  = {x : x R } = R 则R1的子集全体： ,单点集{ x }，一切开的, 闭的，半开闭区间等组成的集族F 是一个σ－ 代数. ,  另外，若令 { : 0} { : 0} 2 1 =  =  A x x A x x ={出现正误差} ={出现负误差}

概率 21.2.20 则%={,41,A2,为一个σ-代数 注对同一研究对象的同一试验,试验目的不 同,其样本空间和代数的结构会不同 定义1.3.2样本空间和o代数的二元体 2,称为可测空间具有代数结 可测空间有如下性质 构的样本空间 1.p∈.%:(:φ=Ω) 2.对可列交运算封闭若A1∈%(i=1,2,) 则有 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 则F { , , ,Ω} 为一个σ－代数. =  A1 A2 注 对同一研究对象的同一试验,试验目的不 同,其样本空间和代数的结构会不同. 定义1.3.2 样本空间Ω和σ代数的二元体 (Ω,F ) 称为可测空间. 具有σ-代数结 构的样本空间 可测空间有如下性质： 1.   F ( = ) ; 2. 对可列交运算封闭, 若 则有 A  (i = 1,2,), i F

概率 21.2.20 ∩4∈ i=1 证因∩A4=∪4且A1∈→A1∈ i=1 →∪4∈%→∩4∈.9 3.对有限并有限交封闭:若A1∈,%,=1,2,,n 则 ∪A∈s,或∩4∈ i=1 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 证 因   且  =  = = 1 i 1 i i Ai A 3. 对有限并,有限交封闭:若 则 Ai  ,i = 1,2, ,n   =  i 1 Ai F Ai  F  Ai  F    =  =     1 i 1 i i Ai F A F F   n i i n i Ai A 1 1 , = =  F 或  F

概率 21.2.20 4.对差运算封闭,即若A∈%妙∈ A-B∈, A-B=A∩B∈ 、概率空间 定义1.3.3设(g2,=是一可测空间对A∈9 定义在上的实值集函数P(4),满足 1)非负性:对MA∈%,0≤P(A)≤1 2)规范性:P(2)=1; 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 4. 对差运算封闭, 即若 A F 则 , B F A− B F A− B = AB  F 二、概率空间 定义1.3.3 设(Ω,F )是一可测空间,对 F 定义在F 上的实值集函数P (A), 满足 A 2) 规范性:P(Ω) = 1; 1) 非负性：对 A F , 0  P(A)  1;

概率 21.2.20 3)完全可加性对 V41∈ 1,2,…;A∩4=≠方 有 U4|=∑P(4) i=1 称P是(Q)上的概率(测度)P(4是事件A 的概率.三元体(Q,%,P称为概率空间 Ex133设某路口到达的车辆数为m基本 事件为{m},样本空间g={0是2的一切 子集组成的集族,多是一个Q代数 电子科技大学

电子科技大学 概 率 21.2.20 3) 完全可加性,对 有   =  = =        1 1 ( ) i i i P  Ai P A 称P是(Ω,F )上的概率(测度),P(A)是事件A 的概率. 三元体(Ω,F , P)称为概率空间. Ex.1.3.3 设某路口到达的车辆数为m,基本 事件为{m},样本空间 F 是Ω的一切 子集组成的集族，F 是一个Ω代数. Ω = {0,1,2,}, A ,i 1,2, ; A A ,i j;  i  F =  i  j =  