电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 离散型随机变量 §2.1 随机变量的直观意义与定义

离散型随机变量 21.2.20 521随机变量的直观意义与定义 四、分布函数及其基本性质 由随机变量定义知对任一实数x都有 {o0:(0)N电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 由随机变量定义知对任一实数x 都有 四、分布函数及其基本性质 §2.1 随机变量的直观意义与定义 {ω :(ω)  x} = {  x} F 定义2.1.3 设ξ(ω)是定义在概率空间(Ω,F, P)上 的随机变量, x 是任意实数，称函数 F( x ) = P{ξ < x } = P{w: ξ(w) < x }, 为随机变量ξ 的分布函数, F( x ) 也记为Fξ ( x )

离散型随机变量 21.2.20 注(1)分布函数F(x)的函数值表示事件 随机点在(-∞,x)内”的概率 (2)F(x)的改变量 AF=F(x +Ar)- F(x)=px N电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 注（1）分布函数F( x )的函数值表示事件 “随机点ξ落在(－∞, x ) 内” 的概率. O x x ξ （2） F( x )的改变量 DF = F( x +Dx) － F( x ) = P{x ≤ξ＜ x +Dx } O x x+Dx x ξ 是事件“随机点ξ 落在(x , x +Dx ]内”概率

离散型随机变量 21.2.20 对于离散型随机变量ξ由概率可加性,因 1<x}=∪{9=x x:sx 故F(x)=P{<x} =P[U{=x;H=∑P5=x} ;<x c <x ●● 14<up电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 对于离散型随机变量ξ, 由概率可加性，因 { } { }i x x x x i  = =     故 F(x) = P{  x} { }i x x P x i =  =  [ { }]  i x x P x i = =    x1 x2 … xn …

离散型随机变量 21.2.20 离散型随机变量的分布函数图如下 P3 2 p1 2 n 由分布函数F(x)确定的分布列 见P117 P=lmF(x,+)-F(xn),n=12,… 14u>N电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 x1 x2 … xn … 离散型随机变量的分布函数图如下 p1 p2 p3 pn 1 由分布函数F(x)确定ξ的分布列 = lim[ ( + 1 ) − ( )], = 1,2, → P F xn F xn n k n k 见P117

离散型随机变量 21.2.20 摸球试验 例如 射击试验 定理211分布函数性质 1)F(x)是单调不减函数 2)F(x)是左连续函数,即对Vx∈R F(x-0)=F(x) 3)0≤F(x)≤1,imF(x)=0,limF(x)=1 x→-0 x→+0 14u>N电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 例如 摸球试验 射击试验 1) F(x)是单调不减函数； 定理2.1.1 分布函数性质 3) 0  ( )  1, lim ( ) = 0, lim ( ) = 1; →−  →+  F x F x F x x x 2） F(x)是左连续函数, 即对 F(x − 0) = F(x). x R

离散型随机变量 21.2.20 证2)由于F(x)单调不减,根据单调性原理 仅需证对任意的x∈R,有 lim fx 1\=F(x) n→)0 )) y-1/2 因5<x-1}c{<x-}c 2 c{5<x--}c 14<up电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 证 2）由于F(x)单调不减，根据单调性原理 仅需证,对任意的x∈R, 有 ( ). 1 lim F x n F x n  =      − → ) ) ) x－1 x－1/2 x     −   −   −  } 1 { } 2 1 { 1} { n x x x  因  

离散型随机变量 21.2.20 且U15<x-}=5<x n=1 由概率的连续性定理知 lim F(x-=lim Ps<x-=ps<x=F(x). n1→0 3因对n有{<-m}{<-(m+1 且∩5<-n}=φ 概率连 续性 im F(n)=lim P5 <-n=P(o) n→0 n→00 14<up电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 由概率的连续性定理知 } { } ( ). 1 ) lim { 1 lim ( P x F x n P x n F x n n − =  − =  = → →        − =   −   − +  =  1 { } 3) { } { ( 1)} n n n n n 且 因 对 有 且 { }， 1 1 x n x n =         −  =     lim (− ) = lim {  − } = ( ) = 0 → → F n P  n P  n n 概率连 续性

离散型随机变量 21.2.20 lim F(x)=lim Ps<x=P()=0 x→-00 x→-0 同理因Mn有{<m}c{<(m+1 且∪{5<n H=1 lim F(n=lim P5<n=P(Q2)=1 n→0 n→0 lim F(x)=lim Ps<x=P(Q2)=1 x→00 x→0 14<up电子科技大学

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20  lim ( ) = lim {  } = ( ) = 0 →−  →−  F x P  x P  x x 同理因  =      +  =  1 { } { } { ( 1)} n n n n n    且 有  lim ( ) = lim {  } = () = 1 → → F n P n P n n   lim ( ) = lim {  } = () = 1 → → F x P x P x x 

离散型随机变量 21.2.20 注定理21.1的逆定理也成立,即若函数 F(x),x∈R满足性质1)-3),则一定存在一个 概率空间上的随机变量以F(x)为分布函数 常用分布函数的性质确定其参数. 例如u分布函数的确定 问题如何根据分布函数F(x)计算以下概率 P{=x}? 14<up电子科技

离散型 随机变量 电子科技大学 21.2.20 注 定理2.1.1的逆定理也成立，即若函数 F(x), x∈R满足性质1）~3）, 则一定存在一个 概率空间上的随机变量ξ以F(x)为分布函数. 例如 常用分布函数的性质确定其参数. 分布函数的确定 问题 如何根据分布函数F(x)计算以下概率 P{ = x} ?

随机变量的直观意义与定义 21.220 例2一袋中有依次标有-1、2、2、2、3、 3数字的六个球,从中任取一球,试写出 球上号码ξ的分布函数 解:由题意有 P=-1}=,P{=2}=,P{= 3= 2 3 当x≤-1时, F(x)=P{5电科大学

随机变量的直观意义与定义 电子科技大学 21.2.20 例2 一袋中有依次标有−1、2、2、2、3、 3数字的六个球，从中任取一球，试写出 球上号码ξ 的分布函数. 解：由题意有 当x ≤ − 1时, F(x) = P{ ξ＜x } = P( ) = 0. x -1 O 1 2 3 x ξ , 3 1 , { 3} 2 1 , { 2} 6 1 P{ = −1} = P  = = P  = =