《线性代数》第二章（2.5）二次曲面与二次型小结

Chapter 次曲面与二次型小结一 K心D

Chapter 5 二次曲面与二次型小结

、内容小结 球面 旋转曲面 二次曲面 柱面 椭球面 1.二次曲面 与空间图形空间曲线及投影/抛物面 空间立体的投影双曲面 二次型及标准形与矩阵表示 2二次型及正定二次型二次型的标准化 正定二次型及判别法 K心

一、内容小结 1. 二次曲面 与空间图形        空间立体的投影 空间曲线及投影 二次曲面          双曲面 抛物面 椭球面 柱面 旋转曲面 球面 ⎯→ 2. 二次型及正定二次型      正定二次型及判别法 二次型的标准化 二次型及标准形与矩阵表示

1.曲面及其方程 般方程:F(x,y,z)=0 球面:(x-x0)2+(y-n)2+(z-zn)2=R2 旋转曲面: xoy面上的曲线f(x,y)=0绕y轴旋转一周得 ∫(土√x2+z2,y)=0 圆锥面:z2=a2(x2+y2) K心

1. 曲面及其方程 一般方程: F(x, y,z) = 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 球面: x − x + y − y + z − z = R 旋转曲面: xoy面上的曲线 f (x, y) = 0 绕 y 轴旋转一周得 ( , ) 0 2 2 f  x + z y = : ( ) 2 2 2 2 圆锥面 z = a x + y

柱面:(方程为缺项的方程) F(x,y)=0表母线平行于z轴的柱面; G(y,x)=0表母线平行于x轴的柱面; H(z,x)=0表母线平行于y轴的柱面 2 2 2 椭球面:x+y+ b 2=1(a,b,c>0) 2 2 椭圆抛物面:x+=z(m>0) p 2q 双曲抛物面:+y z (pq>0) p 2q K心

柱面: (方程为缺项的方程) F(x, y) = 0 表母线平行于 z 轴的柱面; G( y,z) = 0 表母线平行于 x 轴的柱面; H(z, x) = 0 表母线平行于 y 轴的柱面. : 1 ( , , 0) 2 2 2 2 2 2 + + = a b c  c z b y a x 椭球面 ( 0) 2 2 : 2 2 + = z pq  q y p x 椭圆抛物面 ( 0) 2 2 : 2 2 − + = z pq  q y p x 双曲抛物面

单叶双曲面: 双叶双曲面: 十 十 2 2 2 x y z x y 十 2 C 62× 2 x",y.2 2 2 2 d× 2 K心

单叶双曲面: 1 2 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 − + = c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 − + + = c z b y a x 双叶双曲面: 1 2 2 2 2 2 2 + − = − c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 − + = − c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 − + + = − c z b y a x

2.曲线及其投影曲线方程 x=x(t 般方程:,3)=0 参数方程 (t) G(x,y,z)=0 z=z() H(x,y)=0 曲线关于Xoy的投影柱面 空间曲线在xOy面上的投影曲线: H(x,y)=0 =0 yOz面上的投影曲线:x0z面上的投影曲线: R(y,x)=0 ∫T(x,z)=0 x=0 0 K心

2. 曲线及其投影曲线方程    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 一般方程      = = = ( ) ( ) ( ) : z z t y y t x x t 参数方程 H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面    = = 0 ( , ) 0 z H x y 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线:    = = 0 ( , ) 0 x R y z yoz 面上的投影曲线:    = = 0 ( , ) 0 y T x z xoz 面上的投影曲线:

3.二次型及标准形与矩阵表示 (1)f(x1,x2,…,xn)=a1x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn a 22 +2a2x2x3+…+2a2nxxX 2 a n-1,n-1-n-1 +2 n-lmtn-1xn 2 +a, 11 n 12 22 2n 12 x Ar n K心

3. 二次型及标准形与矩阵表示 ( ) 2 1, 1 2 1, 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 (1) , , , 2 2 nn n n n n n n n n n n n n n a x a x a x x a x a x x a x x f x x x a x a x x a x x + + + + + + + + = + + + − − − − −       x Ax x x x a a a a a a a a a x x x n n nn n n n n =                          = 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2         

(2)f(n1,y2…,yn)=k1+k2n+…+kny2 k1 2 0y2 kn八Jn (3)设有n阶方阵4与B,若存在可逆矩阵C使得 CAC=B 则称A合同于B记为A△B K心

( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 (2) , , , n n n f y y  y = k y + k y ++ k y y By y y y k k k y y y n n n =                              = 0 0 0 0 0 0 ( , , , ) 2 1 2 1 1 2          . ~ . (3) , A B A B C AC B n A B C 则称 合同于 记为 设有 阶方阵 与 若存在可逆矩阵 使得  =

4.正定二次型及判别法 无论作怎样的可逆线性变换,由二次型f=xAx 得到的标准形中,正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的.且p+g=-(4) 定义对于实二次型∫=x4x,若vx(≠0)∈R都有 (1)xAx>0,则/为正定二次型,A为正定矩阵; (2)xAx<0,则/为负定二次型,A为负定矩阵 K心

4. 正定二次型及判别法 无论作怎样的可逆线性变换, 由二次型 f = xAx 得到的标准形中, 正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的. 且 p+q=r(A). 定义. 对于实二次型 f = xAx, 若x( 0) R n都有 (1) xAx  0,则f为正定二次型, A为正定矩阵; (2) xAx  0,则f为负定二次型, A为负定矩阵

判定法 定理.(1)实二次型f=xAx正定 台A的所有顺序主子式全大于0 (2)实对称矩阵4正定 A的特征值全大于0 (3)实二次型∫=xAx负定 分A的奇数阶顺序主子式全小于0, 偶数阶顺序主子式全大于0 K心

判定法 定理. 0. (1) 的所有顺序主子式全大于 实二次型 正定 A f x Ax  =  0. (2) 的特征值全大于 实对称矩阵 正定 A A  0 0, (3) 偶数阶顺序主子式全大于 的奇数阶顺序主子式全小于 实二次型 负定 A f x Ax  = 