电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 联合分布（2.2）多维随机变量及其分布函数

联合分布 52.2多维随机变量及其分布函数 多维随机变量的引入 一、二维分布函数及其基本性质 定义221如果和y是定义在同一概率空 间(g2,%,P)上的两个随机变量称(,)为二 维随机变量(向量)

电子科技大学 联合分布 多维随机变量的引入 定义2.2.1 如果ξ和η是定义在同一概率空 间(Ω, F , P)上的两个随机变量,称(ξ,η )为二 维随机变量(向量). §2.2 多维随机变量及其分布函数 一、二维分布函数及其基本性质

联合分布 注157都是定义在2上的随机变量,有 Fr(x)=Ps<x, Fn(x)=pn< yg CR 5lo) R CR y=y(0)

电子科技大学 联合分布 注1ξ,η 都是定义在上的随机变量，有 F (x) = P{  x}, F (x) = P{  y}   ω Ω x=ξ(ω) y=η(ω) R  R R  R

联合分布 例如,为描述一个人的身材特征,用身高 H和体重W来描述 假设Ω={电子科大全体男生},任选1名 男生ω∈Ω,相应的身高和体重是H(oω)与 W(O 扣一个样本点ω对应着两个变量,(H,W 是定义在Ω上的二维随机变量

电子科技大学 联合分布 例如, 为描述一个人的身材特征, 用身高 H 和体重 W 来描述. 假设  = {电子科大全体男生}, 任选 1 名 男生 ∈, 相应的身高和体重是 H() 与 W() . 即一个样本点 对应着两个变量, (H, W) 是定义在上的二维随机变量

联合分布 注2(3,)是可测空间(9,上的实向量,对 任意 (x,y)∈R2,有 {o:()<x,()<y∈9 {o:5(0)<x,()<y ={0:2()<x}∩{0:7()<y 因定义在(,上→{o:5(0)<x}∈ 因定义在(9,上→{o:m(0)<∈ KU

电子科技大学 联合分布 (x, y) R 2 , 有 注2 (ξ,η)是可测空间(Ω,F )上的实向量，对 任意 {ω : ( ) } {ω : ( ) } {ω : ( ) , ( ) } x y x y =              因ξ 定义在(Ω,F)上 因η 定义在(Ω,F )上  {ω: ()  x} F  {ω :()  y} F {ω :()  x,()  y} F

联合分布 定义222对任意实数对(x,y)∈R称二 元函数 F(x,y)=P{3<x,<y} 为(,y)的联合分布函数 维随机变量m的分布函数F()与Fn) 称为(3,n)的边缘分布函数 KU

电子科技大学 联合分布 定义2.2.2 对任意实数对 (x , y ) ∈R 2，称二 元函数 F (x , y) = P {ξ < x , η < y } 为(ξ,η) 的联合分布函数. 一维随机变量ξ、η的分布函数Fξ (x)与Fη (y) 称为(ξ, η) 的边缘分布函数

联合分布 联合分布函 数几何意义 1由联合分布函数可确定边缘分布函数 F()=PS+ Fn(=Pn< y= p5 <+oo, n<y= lim F(x, y)

电子科技大学 联合分布 F ( y) P{ y} P{ x, } lim F(x, y) y→+   =   =     +  = 1.由联合分布函数可确定边缘分布函数 x y 0 y x 联合分布函 数几何意义 F ( y) P{ y} P{ , y} lim F(x, y) x→+   =   =   +    =

联合分布 思考:能否由边缘分布函数确定联合分布 函数? 2.P{x1≤5<x2,y1≤m<2} =F(x2y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x12y1) J 0

电子科技大学 联合分布 2. { , } 1 2 1 2 P x    x y   y x x1 x2 y2 y1 0 y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 = F x y − F x y − F x y + F x y 思考：能否由边缘分布函数确定联合分布 函数？

联合分布 练习(3,)的联合分布函数为 F(x,y) ∫(-e2)1-e3),x>0,y>0 其他 x>0 0其他 >0 F(y 0其他

电子科技大学 联合分布 练习(ξ,η)的联合分布函数为    − −   = − − 0, 其 他 (1 )(1 ), 0, 0 ( , ) 2 3 e e x y F x y x y F (x) = F ( y) =    −  − 0 其他 1 0 2 e x x    −  − 0 其他 1 0 3 e y y

联合分布 定理22.1联合分布函数的性质: 1单调不减性:Fx,y)分别对x,y单调不减 当x1<x2,F(x1,y)≤F(x2,y),Vy∈R; 当v1<y2,F(x,y1)≤F(x,y2),x∈R F(x1, y) F(x2, y) x11x2

电子科技大学 联合分布 定理2.2.1联合分布函数的性质： 1.单调不减性：F(x, y)分别对x , y单调不减. 当x1  x2 , F(x1 , y)  F(x2 , y), y R； 当y1  y2 , F(x, y1 )  F(x, y2 ), x R o x y 1 x 2 x ( , ) 2 F x y ( , ) 1 F x y

联合分布 2有界性:0≤Fxy)≤1 y (x,y) lim F(x,y)=0 x→-0 Im F(x,y)=0 J→>-0 Im F(x, y)=1 x x→+0 J->+ 3左连续性:F(x,y)分别关于x或左连续 lim F(x, y)=F(xo, y), lim F(x,y)=F(x, yo) →x0 y→>y0

电子科技大学 联合分布 lim ( , ) = 0, →−  F x y x (x, y) x y 0 2.有界性： 0≤F(x ,y) ≤1 = 1 →+  →+  lim F(x, y) y x 3.左连续性：F(x, y) 分别关于x 或 y左连续. lim ( , ) ( , ), lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 F x y F x y F x y F x y x x y y = = → − → − lim ( , ) = 0, →−  F x y y