电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）四章 特征函数与极限理论（4.2）多维随机变量的特征函数

多维特征函数 542多维随机变量的特征函数 、多维随机变量的特征函数 定义42.1n维随机向量(12,5的分布函 数为F(x1x2…x则它的特征函数为 q(1,t2,,tn)=Bl145++5 +tnn)dF( 19 9"n 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 §4.2 多维随机变量的特征函数 一 、多维随机变量的特征函数 定义4.2.1 n维随机向量(ξ1 ,ξ2 ,…, ξn )的分布函 数为F(x1 ,x2 ,…,xn ),则它的特征函数为 ( , , , ) [ ] ( ) 1 2 1 1 n n j t t n t t t E e    + + =   ( , , ) ( ) 1 1 1 n n n dF x x j t x t x e      −  − + + =

多维特征函数 二维随机变量(21,2)的特征函数定义为 (t1t2)=Bp"45+252) POO j(1x+2y) 连续型 p(tu,t2) j(tx+t2y) f(x, y)dxdy 离散型 g(4,)=∑∑e4W rS 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学  + = r s r s t t e p t y xr j t ( , ) . , 1 2 1 2 ) s (  离散型 二维随机变量(ξ1 ,ξ2 )的特征函数定义为    −  − + + ( , ) = [ ] = ( , ) ( ( ) 1 2 ) 1 1 2 2 1 2 t t E e e dF x y j t  t  j t x t y  连续型    −  − + t t = e f x y dxdy j t x t y ( , ) ( , ) ( ) 1 2 1 2 

多维特征函数 性质421设二维随机变量(,2)的特征函 数为q(t,1刚则 1)g(0,0)=1,对任意f1,t2∈R,有 φ(t,2)≤q(0,0)=1; 2)gp(t1,t2)=9(-t1,-t2 3)g(1,t2)在实平面上一致连续 4)g(10)=q1(4),p,2)=92(t2) 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 性质4.2.1 设二维随机变量(ξ1 ,ξ2 )的特征函 数为 ( ，则 , ) 1 2  t t φ( , ) φ(0,0) 1; 1) (0,0) 1, , , 1 2 1 2  = =  t t  对任意t t R 有 2) ( , ) φ( , ); 1 2 1 2  t t = −t −t 3) (t 1 ,t 2 )在实平面上一致连续； 4) ( ,0) φ ( ), (0, ) ( ). 2 2 1 2 1 1 t t t t  =   =

多维特征函数 例42.12维正态随机变量的特征函数为 j(A1+p2t2)-(G+2 +2012rt1t2+022 qp(t1,t2)= 有;(1)=%,Dy,)∈尼 t,∈R ;,(t2)=p(,t2)=e juti 2<2 ,t2∈R 即有41~N(A1,a2)和2~N(2,a2) 正态随机变量的边缘分布也是正态分布 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 例4.2.1 2维正态随机变量的特征函数为 ( 2 ) 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 ( , ) j t t t r t t t t t e        + − + + = 1 2 2 (t ,t ) R t t e t R j t t = =  − 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ,0) , 2 1 2 1 1  1 有   t t e t R j t t = =  − 2 2 1 2 2 2 ( ) (0, ) , 2 2 2 2 2  2   即有  1 ~ N(1 , 1 2 )和 2 ~ N(2 , 2 2 )， 正态随机变量的边缘分布也是正态分布

多维特征函数 性质422设二维随机变量(1)的特征函 数为q(t1,t2则 1)随机变量(a1+b1,a252+h2)的特征函数为 j(tb +t2b2 q(1t1,a2t2) 2)则随机变量z=a51+b2+c的特征函数的特 征函数为 φz(t)=e(at,bt),t∈R 特别有 5+;(t)=0(t,t) 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 性质4.2.2 设二维随机变量(ξ1 ,ξ2 )的特征函 数为 ( , 则 ), 1 2  t t 1）随机变量 (a1  1 + b1 ,a2  2 + b2 ) 的特征函数为 ( , ) 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) e a t a t j t b t b  + 2）则随机变量Z=aξ1+bξ2+c 的特征函数的特 征函数为 φ (t) e φ(at,bt), t R. jtc Z =  φ ( ) φ( , ) 1 2 t = t t  + 特别有

多维特征函数 证q2()=E+5+0=eEe+21 c,j()51+j(bn)52 e(at, bt). 例42.2设随机变量(X1,X2)服从二维正态分 布,且E(X=k,k=1,2,记 ki= Cov(Xk, X=k+i, k, i=1, 2 求Y=X1+X2的特征函数 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 φ ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 j t a b c jtc j t a b Z t E e e E e + + + 证 = = [ ] 1 2 jtc j(at) j(bt) e e + = e (at,bt). jtc =  例4.2.2 设随机变量(X1 , X2 )服从二维正态分 布,且E(Xk )= k, k = 1,2, 记 K = Cov(X , X ) = k + i, k,i = 1,2. k i k j 求Y=X1+X2的特征函数

多维特征函数 解φx,x,(1,t2)= j(t1+/2t2)-|01+2r102t1t2+o22 2 (1+22)-(21+2×31t2+4t2) 其中因 C0v(Xk,X)=k+j,k≠j K (k,,=1,2) 2k k=j r12=Cow(X1,X2)=1+2=3, 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 φ , ( 1 , 2 ) = 1 2 t t 解 X X (2 2 3 4 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 2 2 2 1 2 1 j t t t t t t e + − +  + = [σ 2 σ σ ] 2 1 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 j t t t r t t t e + − + + =    其中因 ( , ) 1 2 3, r 1  2 = Cov X1 X2 = + = ( , , 1,2) 2 , . o ( , ) , ; 2 =     = = = +  = k j k k j C v X X k j k j K k k j i j 

多维特征函数 在下式中令t1=t2 9x1,x2(t1,t2)= j(t1+212)-(2t2+2×312+4t2) 2 得q1(t)=x I,+,(, t xlt j3t-6 j3to2 ,t∈R. 由唯一性定理知F=X+X2N(3,12) 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 ( ) φ ( , ) 1 2 , t t t 得  Y = X X 2 j3t 6t e − = , . 2 12 2 1 3 e e t R t j t =   由唯一性定理知Y=X1+X2 ～N(3, 12). (2 2 3 4 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 2 2 2 1 2 1 j t t t t t t e + − +  + 在下式中令 t1 =t2 φ , ( 1 , 2 ) = 1 2 t t X X

多维特征函数 「五、独立随机变量和的特征函数 定理423n维随机变量,252…,2相互独 立的充要条件是 q(1,2…,tn)=∏94(tk) : 仅证充分性 15525 相互独立推知145,k=12,,m 也相互独立,从而 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 五、独立随机变量和的特征函数 定理4.2.3 n维随机变量ξ1 , ξ2 ,…, ξn相互独 立的充要条件是 ( , , , ) 1 2 n  t t  t ( ) 1 k n k t  k  = =  ξ1 , ξ2 ,…, ξn相互独立推知 k n jtk k e ， = 1,2,,  也相互独立，从而 仅证充分性

多维特征函数 qp(t1,t2,…,tn)=E e15+…+tnE ∏E(em)=Iqa( =1 推论1设随机变量31,2,,相互独立,令 n 7=∑ is qn(t)=∏5(t) 证在定理中特别取tt,i1,2,,n 电子科技大学

多维特征函数 电子科技大学 φ( , , , ) [ ] ( ) 1 2 1 1 n n j t t n t t t E e  + +  =   ( ) 1 k k jt n k E e  = = φ ( ) 1 k n k t  k = =  推论1 设随机变量ξ1 , ξ2 ,…, ξn相互独立，令 ,则 1 = = n i   i ( ) φ ( ) 1 t t i n i   = =  证 在定理中特别取t i =t，i=1,2,… ,n